$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\text{ implies } \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y}=0$

Question

Tengo la siguiente pregunta:

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Demuestre que si $z=x+ct$ et $y=x-ct$ entonces:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\text{ implies } \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y}=0$$

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Si tuviera $u$ seguiría trivialmente me imagino, pero no tengo $u$ . Parece que $u$ es lineal en $t,x$ y como $t,x$ son lineales en $y,z$ parece lógicamente coherente, pero no estoy seguro de qué hacer. Tal vez esto está relacionado con las funciones armónicas.

¿Qué debo hacer primero para empezar?

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Tal vez note que $c=\frac{z-x}{t} \text{ and } c=\frac{x-y}{t}$

y por lo tanto $\frac{z-x}{t} =\frac{x-y}{t}\implies x-y=z-x\implies 2x=y+z$

Answer 1

Calcule el $(x,t)$ derivados en términos de las nuevas variables $(z,y)$ por medio de su transformación dada. Entonces, la regla de la cadena se lee:

\begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} = & \frac{\partial u}{\partial z } \frac{\partial z }{\partial t } + \frac{\partial u}{\partial y } \frac{\partial y }{\partial t } = c \, (u_z - u_y) \\ \frac{\partial u}{\partial x} = & \frac{\partial u}{\partial z } \frac{\partial z }{\partial x } + \frac{\partial u}{\partial y } \frac{\partial y }{\partial x } = u_z + u_y \\ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = & \frac{\partial}{\partial t}\left( c \, (u_z - u_y) \right) = c^2 (u_{zz} -2 u_{zy} + u_{yy}) \end{align}

¿Puede derivar la segunda $x$ -y sustituirla de nuevo en la EDP original?

Espero que esto ayude. ¡Salud!

Answer 2

Escriba las variables $x$ et $t$ en términos de $z$ et $y$ . A continuación, utilice la regla de la cadena escribiendo

$$u(x,t) = u(\phi(z,y), \psi(z,y)).$$

Próximo cálculo

$$\frac{\partial}{\partial y} u(\phi(z,y), \psi(z,y))$$

y

$$\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial}{\partial y} u(\phi(z,y), \psi(z,y)) \right).$$

Se utilizará la forma equivalente de la ecuación de onda dada por

$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0.$$