Acerca de la función Beta:$\text{B}\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right)$.

Question

Hallar el valor de : $\text{B}\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right)$ donde $\text{B}(x,y)$ es la función Beta.

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¿Por qué necesito esto ? Porque quiero calcular : $$ \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{e^{2x} }} {{e^{3x} + 1)^2 }}} dx.$$ El ejercicio dice : Calcular con la función Beta, me hizo calcular utilizando otros medios, pero tratando de usar la Beta no he logrado encontrar el valor exacto de la que he hablado en la primera línea.

Por favor, no trate de encontrar mediante el cálculo de la integral de una manera diferente (lo he hecho antes), me pregunto si hay algún método rápido para hacerlo.

Answer 1

Si quieres encontrar a $\mathrm{B}(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$ puede utilizar:

1. la relación entre el $\mathrm{B}(x,y)$ y la función gamma $\Gamma (x)$ $$\begin{equation*} \mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}, \end{ecuación*}$$
2. la función gamma funcional de la ecuación $$\begin{equation*} \Gamma (x+1)=x\Gamma (x),\qquad \Gamma (1)=1, \end{ecuación*}$$
3. Euler reflexión de la fórmula $$\begin{equation*} \Gamma (1-x)\Gamma (x)=\frac{\pi }{\sin (\pi x)}, \end{ecuación*}$$

para obtener sucesivamente

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{B}(\frac{4}{3},\frac{2}{3}) &=&\frac{\Gamma (\frac{4}{3})\Gamma ( \frac{2}{3})}{\Gamma (\frac{4}{3}+\frac{2}{3})}, \\ &=&\frac{\frac{1}{3}\Gamma (\frac{1}{3})\Gamma (\frac{2}{3})}{\Gamma (2)}, \\ &=&\frac{1}{3}\frac{\pi }{\sin (\frac{2}{3}\pi )}, \\ &=&\frac{2}{9}\pi \sqrt{3}. \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Usando el cambio de las variables$t=e^{3x}$ y$\frac{1}{1+t}=u$ en una fila, tenemos

PS