Dimensión del estado separable.

Question

Por favor me pueden ayudar a entender cómo la dimensión del conjunto de separarse de los estados es $\dim \cal H_1 + \dim \cal H_2$?

Este es el pasaje:

Hasta ahora, hemos supuesto implícitamente que el sistema está hecho de un solo componente. Supongamos que un sistema está compuesto de dos componentes; uno vive en un espacio de Hilbert $\cal H_1$ y el otro en otro espacio de Hilbert $\cal H_2$. Un sistema compuesto de dos componentes separados se llama bipartito. A continuación, el sistema como un todo vive en un espacio de Hilbert $\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$, cuyo vector se escribe como $$\left|\, \psi \right\rangle = \sum_{i,j} c_{ij} \left|\,e_{1,i}\right \rangle \otimes \left|\,e_{2,j}\right\rangle, \tag{2.29}$$ donde $\{|\,e_{a,i}\rangle\}$ ($a=1,2$) es una base ortonormales en $\cal H_a$ e $\sum_{i,j} |c_{ij}|^2 = 1$.

Un estado $|\,\psi \rangle \in \cal H$ escrito como un producto tensor de dos vectores como $|\,\psi \rangle = |\,\psi_1 \rangle \otimes |\,\psi_2\rangle$, ($|\,\psi_a\rangle \in \cal H_a$) se llama separable del estado o de un producto tensor estado. Un separables estado admite una interpretación clásica como "El primer sistema está en el estado $|\,\psi_1\rangle$, mientras que el segundo sistema es en $|\,\psi_2\rangle$." Es claro que el conjunto de separarse de los estados tiene dimensión $\dim \cal H_1 + \dim \cal H_2$.

Answer 1

Tenga en cuenta que el espacio de separarse de los estados no es un espacio vectorial, y, en particular, no es un subespacio del total de espacio de Hilbert: la suma de dos separables de los estados es poco probable que sea separable. Así que la dimensión que aquí significa algo más general que la de espacio vectorial de dimensión.

Habiendo dicho esto, yo estaría de acuerdo con el autor en su dimensión! Yo diría que el espacio de (distinto de cero) separables de los estados tiene dimensión $\dim \mathcal{H_1}+\dim\mathcal{H_2}-1$.

Para especificar un separables estado, se puede suministrar un elemento de cada uno de $\mathcal{H_1}$ e $\mathcal{H_2}$, lo que significa que $\dim \mathcal{H_1}+\dim\mathcal{H_2}$ números complejos. Sin embargo, hay una redundancia, ya que puede cambiar de una escala general ($|\psi_1\rangle\mapsto\lambda|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle\mapsto\lambda^{-1}|\psi_2\rangle$) sin cambiar el estado del producto, lo que reduce la dimensión 1.

Un par de ejemplos sencillos:

1) Si $\mathcal{H_1}$ es 1-dimensional (nada!), a continuación, todos los estados son separables, y $\mathcal{H_1}\otimes\mathcal{H_2}\simeq\mathcal{H_2}$.

2) Si $\mathcal{H_1}$ e $\mathcal{H_2}$ son de dos dimensiones, podemos escribir un estado de $\mathcal{H_1}\otimes\mathcal{H_2}$ como una matriz de 2x2. El separables de los estados tienen proporcional columnas/filas, por lo que son exactamente las mismas que las matrices de determinante cero. Si excluimos a 0, esto es un 3-dimensional submanifold.

Answer 2

Esto puede no ser lo Nakahara tiene en mente, pero uno puede hacer sentido de esta con la idea de proyectiva espacios de Hilbert. Deje $\mathcal{P}(\mathcal{H})$ denotar el espacio proyectivo asociado a la "normal" espacio de $\mathcal{H}$.

El subconjunto de separarse de los estados es, no un subvectorspace en el sentido correcto, como Holographer notas. Sin embargo, puede ser entendido como un proyectiva subvariedad del espacio proyectivo asociado con el producto tensor de la base de Hilbert espacios - es la imagen de la Segre incrustación, siendo un suave incrustación

$$ \mathcal{P}(\mathcal{H}_1) \times \mathcal{P}(\mathcal{H}_2) \to \mathcal{P}(\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2), (\psi,\phi) \mapsto \psi \otimes \phi$$

donde $\mathcal{P}(\mathcal{H}_1) \times \mathcal{P}(\mathcal{H}_2)$ son separables de los estados.¹ En el lenguaje de las variedades proyectivas, esta imagen es una $(m-1)+(n-1)$ dimensiones proyectivas subvariedad de $\mathcal{P}(\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2)$, pero ya que debería más bien ver $m' = m - 1$ e $n' = n - 1$ - las dimensiones de los espacios proyectivos - como las dimensiones de las plazas de los estados, obtenemos el hecho de que la subvariedad correspondiente a la separables de los estados tiene la suma de las dimensiones de los estados en forma individual como en su dimensión.

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¹tenga en cuenta que en el ordinario de Hilbert espacios, esto no es inyectiva, por no hablar de una incrustación en ningún sentido, ya que el $\psi \otimes \phi = k\psi \otimes \frac{1}{k}\phi$ significa que $(\psi,\phi)$ e $(k\psi,\frac{1}{k}\phi)$ mapa al mismo elemento del producto tensor espacio.