¿Existe una PDF para una distribución chi-cuadrado generalizada no central?

Question

¿Existe una PDF para una distribución definida como una suma de cuadrados de variables aleatorias extraídas de una familia de distribuciones normales con diferente desviación estándar?

¿Existe una forma de escribir analíticamente la PDF de dicha distribución como una función hipergeométrica sin normalización previa para que todas las distribuciones normales subyacentes tengan varianza unitaria?

Un posible caso de aplicación sería una longitud de desplazamiento desde el centro de N dimensiones bajo el efecto de unas fuerzas aleatorias, normalmente distribuidas a lo largo de cada dimensión, cada una con su propia varianza y media características, diferentes entre dimensiones.

Answer 1

El chi-cuadrado regular no central, en el que todas las DE son iguales, es bastante complicado de escribir analíticamente. Es una suma ponderada de Poisson de densidades de chi-cuadrado central. Esto es el resultado de aplicar la integración por partes a la densidad conjunta de los términos. A su vez, eso se basa en el hecho de que cuando las SD son iguales, la parte exponencial de eso se simplifica considerablemente de lo que es cuando las SD son desiguales.

Estrechamente relacionado con todo esto está el método Satterthwaite, por el que las funciones lineales de chi-cuadrado con escalas desiguales se aproximan por un chi-cuadrado con df fraccionario. Este método existe porque la distribución de la combinación lineal es analíticamente intratable. Y es un central caso de chi-cuadrado.

Creo que se puede afirmar con bastante seguridad que no existe una forma cerrada de pdf para un caso en el que las SD sean desiguales. Existen programas informáticos sofisticados como MathStatica que probablemente podría encontrarlo si se puede hacer.