Lata

Question

Estoy tratando de probar o refutar lo siguiente:

Supongamos que$v\in C^1(\mathbb{R}^n)$ tiene valor real,$|Dv(x)| \leq C$ para todos$x\in \mathbb{R}$,$v$ está delimitado por 0 y$v$ no tiene ningún mínimo local. Demuestre que$$ \inf_{x\in \mathbb{R}^n} |Dv(x)| = 0.$ $

En un caso unidimensional es cierto por un simple argumento, ya que$v$ disminuirá estrictamente en$x$ grande. ¿Puede alguien ayudarme con$n\geq 2$?

Answer 1

Para cada una de las $ n \in \Bbb N,$ deje $z_n \in R^n $ tal que $v(z_n) \leq \inf v(x) + \frac{1}{n}. $

Ahora defina $f(x) := v(x) + \frac{1}{n} \| x-z_n \|^2 .$ Desde $v$ está delimitado por debajo de observar que $f(x) \to + \infty$ as $\|x\| \to + \infty $ esto muestra $f$ alcanza su infimum en algunos $ y \in R^n$. Puedo reclamar $\|y - z_n \| \leq 1$. Esta realidad de la siguiente manera por

$$ f(y) \leq f(z) = v(z_n) \leq \inf v(x) + \frac{1}{n} \le v(y) + \frac{1}{n} $$ Por lo tanto $$ f(v) \le v(y) + \frac{1}{n}$$ que fácilmente se demuestra que la reclamación. Ahora para resolver el problema de considerar la secuencia de $\{z_n \}_{n \in N} $ construido en la forma anteriormente indicada. Deje $y_n$ ser el minimizer de la función $f$ a continuación, según la reivindicación tenemos $\| y_n - z_n \| \le 1$, también sabemos $\nabla f(y_n) = \nabla v(y_n) + \frac{2}{n} (y_n - z_n) = 0$ ahora vamos a $n \to + \infty$ para obtener el resultado.

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Tenga en cuenta que de acuerdo a mi respuesta a la asunción de acotamiento de la derivada es redundante ! Si no estoy perdiendo algo!

Answer 2

Usted puede reducir este problema a 1d.

Tenga en cuenta que la 1d problema sigue siendo válida en $[0,\infty)$.

Supongamos $1>\inf \vert Dv\vert = a > 0$. Definir una curva de $h(t):[0,\infty) \to \mathbb{R}$ como la siguiente.

1) se inicia en 0. Deje $u_1$ ser el vector en la dirección de máximo descenso y que $\vert u_1 \cdot Dv(0)\vert = 1$ . Definir $h_1(s)= s u_1$, $s\in [0,\infty)$. Deje $s_1$ ser el primer punto al $\vert u_1\cdot Dv(h_1(s))\vert \le a$.

2) Ahora, en el punto de $v(\bar{h_1}(s_1))$, encontrar la dirección de la mayor bajada $u_2$ y repita el paso 1 para obtener una curva de ${h}_2$ definido en $[0,s_2]$ donde ${h_2}(0)={h_1}(s_1)$.

3) Repita el proceso para definir ${h}_n$.

4) tenga en cuenta que $\sum s_n =\infty$, de lo contrario, tienes una singularidad.

5) Ahora, definir $h$ por concatenar $v(\bar{h}_1) v(\bar{h}_2)...$

Por construcción $\inf_{[0,\infty)}\vert h'(t)\vert \ge a$, lo cual es una contradicción.

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Mi pensamiento inicial fue simplemente elegir una línea recta y que se vaya con él, pero dot producto plantea un problema con eso. Moralmente, la intuición es simplemente para seguir el camino de bajada a $-\infty$.