Par de Círculos Intersect

Question

Si $S$ es una colección de círculos s.t. para cada punto de $c$ en el eje x hay un círculo en $S$ pasa por el punto de $(c,0)$ y, al mismo tiempo, el eje de las x como una tangente al círculo en $(c,0)$: quiero mostrar que la $S$ tiene un par de círculos que se intersectan.

Intento:

Bueno, yo quiero usar countability en mi prueba. He esbozado un vistazo y veo que esto geométricamente tiene sentido. El hecho de que dos círculos se intersectan que la distancia entre el centro de los dos círculos es menor que la suma de los dos radios. $c$ es real así que quiero utilizar las propiedades de los reales de ser incontables. Yo no he sido capaz de atar estos pensamientos por completo, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Deje $\mathcal{C}$ ser la colección de círculos de satisfacer las condiciones requeridas. Para $x\in\mathbb{R}$, escribir $\omega(x)$ de un círculo en $\mathcal{C}$ tangente a la $X$-eje en el punto de $(x,0)$. Hay una cantidad no numerable de pares de círculos en $\mathcal{C}$ que se cruzan, pero no son tangentes a la una de la otra.

Supongamos contrario, que sólo hay countably muchas parejas que se cruzan. Definir $f:\mathbb{R}\to\mathbb{Q}^2$ como sigue. Para $x\in\mathbb{R}$, vamos a $f(x)$ ser las coordenadas de un punto racional en el interior de $\omega(x)$. Deje $T\subseteq \mathbb{R}$ ser el conjunto de todos los $x\in\mathbb{R}$ tal que $\omega(x)$ tiene una intersección con algunos otros círculos de $\mathcal{C}$. A continuación, $T$ es contable, de donde $\mathbb{R}\setminus T$ es incontable. Además, $f|_{\mathbb{R}\setminus T}:(\mathbb{R}\setminus T)\to\mathbb{Q}^2$ es una función inyectiva de una multitud innumerable en una contables conjunto. Esta es una contradicción. Por lo tanto, $T$ debe ser innumerables, y la prueba está ahora completa.

P. S.: Vamos A $n\in\mathbb{N}$. Si, en $\mathbb{R}^{n+1}$, una colección de $n$-esferas cumple la condición de que, por cualquier $x\in\mathbb{R}^n$, existe un $n$-esfera en la colección que reúne la hyperplane $\left\{(t,0)\,|\,t\in\mathbb{R}^n\right\}$ en el punto de $(t,0)$. Entonces, hay una cantidad no numerable de pares de $n$-esferas en esta colección en la que se cruzan, pero no son tangentes a la una de la otra.