¿describen las reflexiones de Householder todas las reflexiones?

Question

Estoy familiarizado con Reflexiones de los propietarios son una simple transformación que, dado un vector normal, describe la reflexión en el hiperplano perpendicular a ese vector.

Pero, ¿describen las reflexiones de Householder el espacio completo de las matrices que describen la reflexión sobre el origen, o hay otras reflexiones que no pueden ser descritas por las reflexiones de Householder?

Answer 1

La respuesta de Mariano debería ser suficiente, si lees con atención tu enlace a la Wikipedia, pero quizá pueda añadir algunas pistas.

Si quieres hacer una reflexión sobre un hiperplano que contenga el origen, escoge un vector ortogonal unitario a ese hiperplano, $v$ y luego escribir el vector $x$ quieres reflexionar sobre $[v]^\bot$ como una suma

$$ x = \lambda v + u $$

con $u \in [v]^\bot$ . Ahora, usted quiere determinar $\lambda \in \mathbb{R}$ para que esto sea cierto:

$$ v \cdot x = \lambda v\cdot v + v\cdot u = \lambda \ . $$

Así que, necesariamente

$$ x = (v\cdot x) v + u \ . $$

Por lo tanto, si quiere reflejar $x$ sobre $[v]^\bot$ , sólo hay que restar dos veces su $v$ -componente:

$$ P_v x = x - 2 (v\cdot x) v = x - 2 v (v^t x) = (I - 2vv^t ) x \ . $$

Así que cualquier reflexión (ortogonal) sobre cualquier hiperplano $[v]^\bot$ es de la forma

$$ P_v = I - 2vv^t \ . $$

Es decir, una reflexión de Housholder.

Answer 2

Sí, todos son reflejos.