¿Cuántas funciones existen como esta?

Question

Sea $f:[0,1]\to [0,\infty)$ una función continua tal que $\int_0^x f(t)dt \geq f(x)$. ¿Cuántas funciones así existen?

Creo que $e^x$ es una función así. Nuevamente, bajo la condición dada $f(0) = 0$. Pero $e^x$ no asume el valor $0$ en ningún punto en $[0,1]$.

Answer 1

Sea $g(x) = \int_{0}^x f(t)dt$. Entonces, por el Teorema Fundamental del Cálculo, $g'(x) = f(x)$, y $g(x) \geq g'(x)$ en el intervalo dado, con $g(0) = 0.

Reorganizando, $g(x) - g'(x) \geq 0$ en el intervalo.

En esta etapa, tenemos un truco común.

Multiplicando por $e^{-x}$, uno ve que $e^{-x}g(x) - e^{-x}g'(x) \geq 0$. Pero la derivada de $e^{-x} g(x)$ es $e^{-x}g'(x) - e^{-x}g(x) = e^{-x}(g'(x) - g(x)).

Consecuentemente, $(e^{-x}g(x))' \leq 0$ en el intervalo. Por lo tanto, $e^{-x}g(x)$ está disminuyendo en el intervalo dado.

Pero $g(0) = 0$, y $g \geq 0$, ya que está definida como la integral de una función no negativa. Esto obliga a que $e^{-x} g(x) = 0$ en el intervalo, y por lo tanto $g \equiv 0$ y $f \equiv 0.

Por lo tanto, solo hay una función tal, la función cero.

Answer 2

Aquí hay un argumento (con suerte) más simple que el dado por . Simplemente integra ambos lados de 0 a 1. Si intercambias las integrales a la izquierda, obtienes $\int_0^{1} (1-x)f(x)dx \geq \int_0^{1} f(x)dx$. Dado que $(1-x) \leq 1$ obtenemos $(1-x)f(x)=f(x)$ para todo $x$, lo que implica $f \equiv 0$.

Answer 3

También puedes demostrarlo usando el teorema del valor medio para integrales:

Dado cualquier $x \in (0,1]$, existe un $y \in [0,x]$ tal que $\int_0^x f(t)dt = xf(y)$. Con las condiciones dadas sobre $f$, esto implica que para todo $x \in (0,1]$ existe un $y \in [0,x]$ con $xf(y) \geq f(x)$.

Elige $x$ de manera que maximice $f(x)$ en $[0,1]$. Si $x = 0$, entonces el hecho de que $f$ sea no negativa implica que $f$ es constantemente 0. Por otro lado, si $x > 0$ tenemos que $f(y) \geq f(x)/x$. Esto contradiría la maximalidad de $f(x)$ a menos que $x = 1$. Pero entonces $f(y) \geq f(1)/1$, con $f(1)$ maximal, lo que implica que $f(y) = f(1).

Juntando todo esto, tenemos que $\int_0^1 f(t)dt = f(1)$, con $f(1)$ maximal. La única forma en que la integral de una función continua en $[0,1]$ puede ser igual al valor máximo de esa función en $[0,1]$ es si la función es constante. Por lo tanto, $f(x)$ es constante. Pero dado que las condiciones dadas implican que $f(0) = 0$, debemos tener que $f$ es constantemente $0$ en este caso también.