Ingeniero: no se puede apreciar la importancia de la L2 espacio

Question

Alguien puede proporcionarme un poco de material para hacer clara de la importancia de la $L^2$ espacio en ingeniería física?

Tener un fondo en todos los primeros cursos de matemáticas que se ofrecen en ingeniería, me encuentro completamente incapaz de apreciar la utilidad de saber la definición de una $L^2$ espacio. ¿Por qué molestarse definir $L^2$? Toda la construcción física que he visto hasta ahora, si se trata de una señal o de la función de onda, naturalmente satisface de la plaza de integrabilidad. Yo literalmente nunca han encontrado con algo que es útil en la ingeniería que no cumplen esta condición.

Por lo tanto, usted puede ver por qué soy tan curioso en cuanto a por qué tantas personas se inclinan a decir "supongamos $f$ $L^2$" antes de probar algo. Que es como decir: "supongamos $x$${\mathbb R}$", lo cual plantea la pregunta, ¿qué espacio funcional sería de $f$ ser una parte de si no $L^2$?

Alguien puede mostrar algún ejemplo real de cómo la definición de una L2 espacio se invoca a probar algo práctico (es decir, calc, lineal alg, la educación a distancia). Si es posible, alguien puede también mostrar lo que habría sido diferente si $f$ pertenecía a $L^1$ o otros $L^p$s o algunos otros espacios?

Muchas gracias.

Answer 1

Estas son algunas de las razones que puedo ver en este momento (En el caso que yo recuerdo de algo que se añade a esta lista):

1) De hecho, cualquier señal de que en realidad es una función en $L^2(I)$ donde $I$ es un intervalo de tiempo, ya que su energía es finita, es decir, $$\int_I |x(t)|^2 {\rm d}t < \infty$$

2) La serie de Fourier intrínsecamente significa que cualquier señal periódica se puede aproximar arbitrariamente precisa por parte de algunos $\sin$ funciones y $\cos$ funciones, donde ellos son ortonormales base para un $L^2$ espacio,...

3) en términos generales, a $L^2$ espacio es el único espacio funcional entre $L^p$ espacios que es un espacio de Hilbert, es decir, se tiene un producto interior (y también completa)! Uno puede imaginar esta espacios como una generalización de las ${\mathbb R}^n$ a infinito dimensional de los casos. Tantas tendencias como encontrar el máximo o mínimo de la función de ${\mathbb R}^n$ ${\mathbb R}$puede ser generalizado a estos espacios de una manera similar...

4) En el caso de la negociación con infinitas dimensiones de los espacios como el control de un PDE, sistemas fraccionarios,... el modelo y los sistemas se definen en $L^2$...

5) ...

Answer 2

La transformada de Fourier $$\hat{f}(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-ist}\,dt$$ se construye a partir de las funciones de $e^{-ist}$ que no están en $L^{2}$ sobre la línea real $\mathbb{R}$. Este es un ejemplo de importación física y matemáticamente. Se dice que hay "paquetes de onda" que están en $L^{2}$ pesar de que los componentes de la manada no son! La diferenciación operador $D=\frac{1}{i}\frac{d}{dt}$ no $L^{2}$ funciones propias en $\mathbb{R}$, pero que tiene una gran cantidad de no-$L^{2}$ funciones propias $e^{ist}$ a partir de la cual el general de las funciones puede ser construido. Estos no$L^{2}$ funciones propias no son físicas, pero se puede utilizar para aproximar nada de lo que es.

Donde hay espectro continuo en la Mecánica Cuántica se encuentra en independiente de los estados, usted tiene esta situación. Y no puedes escapar espectro continuo en la Mecánica Cuántica; espectro continuo se produce en cualquier sistema en el que cualquier valor en un intervalo de tiempo puede ser una medida esperada. Es esta interacción entre el no$L^{2}$ funciones propias y $L^{2}$ paquetes que es fundamental, y está relacionado con la incertidumbre. Muy importante en casi todos los espacios libres del problema, incluyendo los fenómenos atómicos.