Máxima y el primer ideales en la matriz de los anillos

Question

Sé que si $I$ es un ideal de un anillo de $R$,, a continuación, $M_n(I)$ es un ideal en el $M_n(R)$. Por ejemplo, los ideales en $\mathbb{Z}$ se $m\mathbb{Z}$, por lo que los ideales en $M_n(\mathbb{Z})$ se $M_n(m\mathbb{Z})$. La máxima (y primer) ideales en $\mathbb{Z}$ se $p\mathbb{Z}$ donde $p$ es primo. Es cierto esto todavía para $M_n(p\mathbb{Z})$? Me refiero a, se $M_n(p\mathbb{Z})$ el máximo y el primer ideales de $M_n(\mathbb{Z})$?

Answer 1

Sí, porque este ideal de la correspondencia entre el $R$ e $M_n(R)$ es la contención de conservar. Es decir, $M_n(I)\subseteq M_n(J)$ fib $I\subseteq J$. Se conserva también ideal multiplicación: $M_n(I)M_n(J)=M_n(IJ)$.

Estos permiten demostrar $M_n(I)$ es el primer (resp. máximo) en $M_n(R)$ fib $I$ es el primer (resp. máximo) en $R$.