Una pregunta acerca de automorphism

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y deje $\phi: G \to G$ ser un automorphism de $G$ tal que $\phi(g) \ne g$ para todos los elementos de identidad de G.

i) Mostrar que cada elemento $h$ de G se puede escribir en la forma $h=g^{-1}\phi(g)$ para algunos $g\in G$.

ii)Si $\phi^2:G\to G$ es el mapa de identidad, muestran que $\phi(a)=a^{-1}$ para todos los $a \in G$

Solo quiero algunos consejos.

Answer 1

Sugerencia para (i): mostrar que el mapa de $f: G \rightarrow G$ definido por $f(g)=g^{-1}\phi(g)$ es inyectiva. Sacar la conclusión de que $f$ tiene que ser surjective.

Sugerencia para (ii): (i) uno ha $\phi(g)=gh$ para algunos $h \in G$. Por lo tanto $\phi((\phi(g))=g=\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)=gh\phi(h)$, lo $1=h\phi(h)$.