¿Por qué este cociente que implica la representación en serie de la función Zeta de Riemann tiende a $2$ ?

Question

Dejemos que $\zeta(n)$ denotan la función Zeta de Riemann definida para enteros positivos $n$ como siempre por:

$$ \zeta(n)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^n}. $$

Se sabe que para $n=2$ y $3$ existe una representación en serie de $\zeta$ de la forma:

$$ \zeta (n)=\xi _{{n}}\sum _{{m=1}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{{m-1}}}{m^{{n}}{\binom {2m}{m}}}}, $$

donde $\xi_n$ es un número algebraico. Sabemos que $\xi_2 = \frac{\pi^2}{12 \sinh^{-1}(\frac{1}{2})^2}$ y $\xi_3=2.5$ . No hay tal $\xi_n$ es conocido por $n>3$ .

Es natural entonces examinar el comportamiento de la función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ definido por:

$$ f(n) = \frac{\zeta (n)}{\sum _{{m=1}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{{m-1}}}{m^{{n}}{\binom {2m}{m}}}}}. $$

Curiosamente, parece que $\lim_{n\to\infty} f(n) = 2$ . He tabulado los primeros valores de $f$ abajo.

\begin{array}{|c|c|} \hline n & f(n) \\ \hline 2 & 3.55178\ldots \\ \hline 3 & 2.5 \\ \hline 4 & 2.20815\ldots \\ \hline 5 & 2.09487\ldots \\ \hline 6 & 2.04507\ldots \\ \hline 7 & 2.02187\ldots \\ \hline 8 & 2.01074\ldots \\ \hline 9 & 2.00531\ldots \\ \hline \end{array}

¿Hay una buena explicación para esto?

Answer 1

El límite se puede pasar dentro de las sumas, y los términos con $m\geq 2$ ir a $0$ . $$ \lim_{n\to\infty}\zeta(n)=\sum_{m=1}^\infty \lim_{n\to\infty} \frac{1}{m^n}=1, $$ $$ \lim_{n\to\infty}\sum _{{m=1}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{{m-1}}}{m^{{n}}{\binom {2m}{m}}}}=\sum _{{m=1}}^{{\infty }}\lim_{n\to\infty}{\frac {(-1)^{{m-1}}}{m^{{n}}{\binom {2m}{m}}}}=\frac{(-1)^0}{1{2\choose 1}}=\frac{1}{2}. $$