Calcular en forma cerrada una integral en función de Airy

Question

¿Podemos esperar una buena forma cerrada para la integral de abajo? $$\int_0^1 \frac{\displaystyle \text{Ai}\left(-\frac{t}{2^{2/3} \sqrt[3]{3-3 t}}\right)^2+\text{Bi}\left(-\frac{t}{2^{2/3} \sqrt[3]{3-3 t}}\right)^2}{ \sqrt[6]{1- t}} \, dt$$

¿Qué herramientas me recomienda utilizar?

Algunas informaciones sobre Función de aireación aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Airy_function .

EDITAR : hazme saber si hay algo mal en la pregunta, o si sucede que la función de Airy es molesta en cierta medida. Estaré encantado de mejorar el post. Cuando tengo ideas sobre el camino a seguir,
Te lo hago saber. ¿Qué más?

Answer 1

Esta es sólo una solución parcial. No he obtenido ninguna forma cerrada, sino reducida a una integral de una función elemental.

Se puede simplificar la integral anterior de la siguiente manera $$ I=\int_0^1 \frac{\displaystyle \text{Ai}\left(-\frac{t}{\sqrt[3]{12(1 -t)}}\right)^2+\text{Bi}\left(-\frac{t}{ \sqrt[3]{12(1- t)}}\right)^2}{ \sqrt[6]{1- t}} \, dt. $$ Utilizando la representación integral (ver el libro Vallee, Soares "Función de Airy y aplicaciones a la física") $$ \operatorname{Ai}^2(t)+\operatorname{Bi}^2(t)=\frac{1}{\pi^{3/2}}\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{x}}e^{xt-\frac{x^3}{12}}dx $$ uno recibe: $$ I=\frac{1}{\pi^{3/2}}\int_0^1 \frac{dt}{ \sqrt[6]{1- t}} \int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{x}}\exp\left\{ -\frac{xt}{ \sqrt[3]{12(1- t)}}-\frac{x^3}{12}\right\}dx=\\ \frac{12^{1/6}}{\pi^{3/2}}\int_0^1 dt \int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{x}}e^{ -xt-x^3(1-t)}dx=\\ \frac{12^{1/6}}{\pi^{3/2}}\int_0^\infty\frac{dx}{\sqrt{x}}e^{-x^3}\int_0^1 e^{ (x^3-x)t}dt =\\ \frac{12^{1/6}}{\pi^{3/2}}\int_0^\infty\frac{e^{-x}-e^{-x^3}}{x^3-x}\frac{dx}{\sqrt{x}} $$

Answer 2

Suponiendo que conocemos la serie de Taylor de $\text{Ai}^2(x)$ y $\text{Bi}^2(x)$ en una vecindad del origen, el problema se reduce a evaluar una suma ponderada de valores de la función Beta. Como las funciones de Airy son las soluciones fundamentales de: $$ y'' = x y $$ si $y=\text{Ai}$ o $y=\text{Bi}$ que tenemos: $$ \frac{d}{dx}y^2 = 2yy',\quad \frac{d^2}{dx^2}y^2 = 2y'^2+2x yy',\quad \frac{d^3}{dx^3}y^2=(2x+1)2yy'+2xy'^2+2x^2y^2$$ así que $\text{Ai}^2$ y $\text{Bi}^2$ cumplen la EDO de tercer orden: $$ y''' = 2x^2 y+(1+2x-x^2)y'+x y'' $$ que se puede utilizar para encontrar los coeficientes de la serie de Taylor.

O tal vez haya alguna forma astuta de explotar la identidad de Parseval, una vez conocido que la transformada de Fourier de $\text{Ai}(x)$ es $e^{-\frac{is^3}{3}}$ .