Pregunta sobre la probabilidad: significado de la frase

Question

El siguiente es el problema en el que estoy trabajando.

La probabilidad de que un coche que pasa sea de importación se define como $p(i)=1/4$ y la probabilidad de que sea nacional es $p(d)=3/4$ . Halla la probabilidad de que pasen al menos 2 importaciones antes que el tercer coche nacional.

No entiendo muy bien a qué se refieren con el "tercer" coche nacional.

Opinión 1), La probabilidad que busco es $$p(\text{2i's 2ds and last d})+p(\text{3i's 2d's and last d})+\cdots p(\text{n i's 2d's and last d}))+\cdots$$

Opinión 2), El "3er" coche es doméstico $$p(\text{ddd})+p(\text{idd})+p(\text{did})+\cdots+p(()()d()()()\cdots)$$

Pero el libro en el que estoy trabajando explica como los únicos casos son

$$iidd,idid,iddi,ddid,didi,ddii, iiid,iidi,idii, ddii, iiii$$

Estoy muy confundido porque, en primer lugar, no veo un "tercer" coche doméstico en ninguno de estos casos y ¿por qué se supone que hay exactamente cuatro coches pasando?

¿Puede alguien explicarme qué está pasando?

Answer 1

Aunque ya has seleccionado la respuesta de @drhab y da excelentes consejos, quería destacar la distribución binomial negativa como una forma diferente de enfocar el problema (y que da respuestas para números mayores a la 2ª importación y la 3ª doméstica).

Consideremos el ejemplo de sacar bolas rojas o negras de un cubo (con reemplazo, para que las probabilidades no cambien). Al sacar una bola del cubo, se registra su color. Al igual que en el ejemplo, se continúa así hasta que se encuentra la tercera bola negra y entonces se cuenta el número de bolas rojas.

Cuando el número de bolas extraídas $n$ se elige de antemano, se tiene la distribución binomial.

Por otro lado, dibujar hasta ver la primera bola negra es la distribución geométrica.

Dibujar hasta ver un número determinado $r$ de bolas negras es la distribución binomial negativa. Observa que la distribución geométrica es un caso especial con $r=1$ .

Para su pregunta, deje que la variable aleatoria $X \sim NB(r=3, p=\frac{1}{4})$ sea el número de importaciones vistas (las importaciones serán las bolas rojas de arriba). Usando las fórmulas de Wikipedia y los consejos de @drhab para encontrar el complemento, podemos encontrar la respuesta a tu pregunta:

$$ \begin{align*} P(X \ge 2)&=1 - \sum_{k=0}^1{P(X=k)} \\ &= 1 - \binom{2}{0}(\frac{3}{4})^3(\frac{1}{4})^0 -\binom{3}{1}(\frac{3}{4})^3(\frac{1}{4})^1 \\ &=1 - \frac{27}{64} - \frac{81}{256} \\ &=\frac{67}{256} \end{align*} $$

Answer 2

Al igual que tú, estoy confundido sobre los casos que menciona el libro. Tiendo a creer en la opinión 1) y una solución para ese problema es:

Observando el complemento (es decir, el caso de que menos de $2$ importa pasan antes que el $3$ -rd doméstico lo hace) hay $4$ posibilidades: $ddd$ , $iddd$ , $didd$ y $ddid$

Esto con probabilidad $\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{27}{64}$ para $ddd$ y la probabilidad $\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{27}{256}$ para los demás. Entonces hay una probabilidad de $\frac{27}{64}+3\times\frac{27}{256}=\frac{189}{256}$ para el complemento, por lo tanto una probabilidad de $\frac{67}{256}$ para el evento.

Es una buena costumbre mirar primero el complemento siempre que te encuentres con expresiones como "al menos".