¿Cuántas combinaciones de 6 elementos son posibles?

Question

Tengo 6 elementos y quiero saber cuántas combinaciones son posibles en conjuntos de cualquier cantidad. (sin duplicados)

por ejemplo. Es posible tener cualquiera de lo siguiente:
1,2,3,4,5,6
1,3,5,6,2
1
1,3,4

no puede haber combinaciones duplicadas:
1,2,3,4
4,3,2,1

Editar: por alguna razón no puedo agregar más comentarios. @miracle173 es correcto. Además {1,1} no es aceptable

Answer 1

Estás preguntando por el número de subconjuntos de un conjunto con n elementos. {1,2,3,...,n} Cada subconjunto puede ser representado por una cadena binaria, por ejemplo para el conjunto {1,2,3,4,5,6} la cadena 001101 significa el subconjunto que

no contiene el elemento 1 del conjunto, porque el primer caracter de la izquierda de la cadena es 0

no contiene el elemento 2 del conjunto, porque el segundo caracter de la izquierda de la cadena es 0

contiene el elemento 3 del conjunto, porque el tercer caracter de la izquierda de la cadena es 1

contiene el elemento 4 del conjunto, porque el cuarto caracter de la izquierda de la cadena es 1

no contiene el elemento 5 del conjunto, porque el quinto caracter de la izquierda de la cadena es 0

contiene el elemento 6 del conjunto, porque el sexto caracter de la izquierda de la cadena es 1

así que 001101 significa el subconjunto {3,4,6}. Por lo tanto, hay tantos subconjuntos como cadenas de longitud n. Con n dígitos binarios se puede contar desde 0 hasta 2^n-1, por lo tanto hay 2^n tales cadenas y 2^n subconjuntos de {1,...,n}. 00...0 significa el subconjunto vacío. Si no quieres contar el subconjunto vacío entonces tienes solamente 2^n-1 subconjuntos.

Answer 2

$2^6$. Piénsalo como un jardín de caminos bifurcados donde en la primera bifurcación debes decidir si incluir o no 1, luego 2, luego 3... Con cada elección, el número de posibilidades se duplica.

Answer 3

Mi pensamiento era:

Cada combinación de $k$ elementos $n$ por $n$ puede expresarse como $^kC_{n}$. Según entiendo, quieres hacer conjuntos de $1,2,3,4,5$ y $6$ elementos a partir de una muestra de $6$ elementos sin repetir. Por lo tanto, hay una línea en el triángulo de Pascal donde $k=6$ y $n \in \{ 1,2,3,4,5,6\}$, no incluiré el $0.

Entonces tendremos:

$^6C_{1}+^6C_{2}+^6C_{3}+^6C_{4}+^6C_{5}+^6C_{6}=2^6-1$

La resta de $1$ se debe a que el $^6C_{0}$ no está incluido. Creo que es eso.

Explicación:

Cada combinación se refiere a cada conjunto. Un conjunto de $1$ elemento, un conjunto de $2$ elementos... y así sucesivamente. El $^6C_{0}$ no es válido para este problema en particular, porque el problema no permite el conjunto vacío. Para cualquier línea del triángulo de Pascal, la suma de todos los elementos de esta línea está dada por $2^n$, donde $n$ es el número de la línea. Por lo tanto, si el $^6C_{0}$ no está incluido, la solución está dada por $2^n-1$, donde en este caso $n=6$.

Answer 4

Tienes 6 números, por lo que la respuesta es 2^6, que es 64. Si el conjunto vacío no cuenta como una combinación, entonces es 63.

Answer 5

Los valores actuales son:

número de elementos en el conjunto: combinaciones totales
1: 1
2: 4
3: 15
4: 64
5: 325
6: 1956
7: 13699
8: 109,600
9: 986,409
10: 9,864,100 millones
11: 108,505,111
12: 1,302,061,344 mil millones
13: 16,926,797,485
14: 236,975,164,804
15: 3,554,627,472,075 trillones
16: 56,874,039,553,216
17: 966,858,672,404,689
18: 17,403,456,103,284,420 cuatrillones
19: 330,665,665,962,404,000
20: 6,613,313,319,248,079,000 quintillones
21: 138,879,579,704,209,650,000 sextillones
22: 3.0553507534926124e+21 zillions

Sé que esto no es el stack de programación, pero creo que alguien inteligente podría encontrar una fórmula (matemática real) basada en el script y/o en los valores derivados?

La validación se derivó de un script de permutación (javascript debajo).

ACTUALIZACIÓN: Después de mirar los resultados encontré una relación:

nr = (pr * ni) + ni

donde:
   pr = resultado anterior
   nr = resultado siguiente
   ni = siguiente elemento

Así que escribí un pequeño script para probar la "fórmula". (¡Ahí es de donde vienen los números mega grandes, no hay manera de que una computadora casera pueda permutar un zillion!)

var combos = 0;
for(var items=1; items<100; items++){
    combos = (combos * items) + items;
    console.log(items, combos);
}

Script de permutación en JavaScript

function combinations(Asource){

    var combos = [];
    var temp = [];

    var picker = function(arr, temp_string, collect) {
        if (temp_string.length) {
           collect.push(temp_string);
        }

        for (var i=0; i 0) {
                picker(arrcopy, temp_string.concat(elem), collect);
            } else {
                collect.push(temp_string.concat(elem));
            }   
        }   
    }

    picker(Asource, temp, combos);

    return combos;

}

var combos = ["a", "b", "c", "d"]; // 5 en este conjunto
var findCombos = combinations(Asource);

console.log(combos.length + " : " + findCombos.length);