Curva elíptica lineal de la recurrencia de la prueba

Question

Deje $E/\mathbb{F}_q$ ser una curva elíptica con $q=p^m$ para algunos de los mejores $p$. Deje $a_n=q^n+1-\#E(F_{q^n})$ y por convención dejamos $a_0=2$. Demostrar que $a_{n+2}=a_1a_{n+1}-qa_n$ para todos los $n>0$.

Esta recurrencia lineal proporciona una manera de calcular $a_n$ a partir de los valores iniciales $a_0=2$ e $a_1=q+1-\#E(\mathbb{F}_q)$. Creo que la inducción es el camino a seguir, pero no estoy seguro de cómo desenredar $\#E(F_{q^n})$ exactamente. ¿Qué es una buena manera de probar esta recurrencia lineal?

Answer 1

Usted puede utilizar que hay un número complejo $\omega \in \mathbb C$ s.t. $|\omega| = \sqrt{q}$ y

$$\#E(\mathbb F_{q^n}) = q^n +1 - (\omega^n+\overline\omega^n)$$

donde $\overline\omega$ es el conjugado complejo de $\omega$. (Weil conjetura aplica a curvas elípticas.)

La aplicación de esta fórmula hace que sea esencialmente trivial.

$a_n = q^n +1 - \#E(\mathbb F_{q^n}) = \omega^n + \overline\omega^n$.

A continuación, $$\begin{align*} a_1 a_{n+1} - qa_n &= (\omega+\overline\omega)(\omega^{n+1} + \overline\omega^{n+1}) - q(\omega^n + \overline\omega^n) = \ldots \\ \end{align*}$$