Asociatividad del Producto Cartesiano

Question

Tengo una duda básica sobre la asociatividad del producto cartesiano. Bueno, primero Wikipedia dice que el producto cartesiano no es asociativo, y hay un buen argumento para ello: si $x\in E$, $y\in F$ y $z \in G$ la identidad $((x,y), z)=(x,(y,z))$ implicaría que $(x,y) =x$ y $(y,z) = z$ por lo que $((x,y),z)=(x,y,z)$ no significaría nada.

Eso está bien, me gusta este argumento. Sin embargo, en su libro "Cálculo en variedades" Spivak dice que el producto cartesiano es asociativo. Él dice: si $A \subset \mathbb{R}^m$, $B\subset \mathbb{R}^n$ y $C \subset \mathbb{R}^p$ entonces $(A\times B)\times C = A \times (B \times C)$, y ambos se denotan simplemente como $A \times B \times C$.

Bueno, esto me confunde porque Spivak siempre es muy riguroso, por lo que no afirmaría algo que no sea cierto de esa manera. ¿Spivak o Wikipedia tienen razón? ¿O la afirmación de Spivak solo funciona para subconjuntos de espacios euclídeos?

Gracias de antemano y disculpen si esta pregunta es muy básica.

Answer 1

En el nivel más formal de teoría de conjuntos no son realmente iguales.

Por ejemplo, $(\{1\}\times\{2\})\times\{3\}$ es el conjunto cuyo único elemento es $\langle\langle 1,2\rangle,3\rangle$, y $\{1\}\times(\{2\}\times\{3\})$ es el conjunto cuyo único elemento es $\langle 1,\langle 2,3\rangle\rangle$. Y esos dos únicos elementos no son iguales.

Por otro lado, puede ser extremadamente conveniente ver tanto a $\langle\langle 1,2\rangle,3\rangle$ como a $\langle 1,\langle 2,3\rangle\rangle$ como representaciones alternativas de la misma "cosa ideal" que es una secuencia ordenada de tres números, escrita como $\langle 1,2,3\rangle$.

Mientras todo con lo que tratamos sean números o secuencias ordenadas de números, es posible definir $A\times B$ de modo que si alguno de $A$ y $B$ es un conjunto de números (en lugar de secuencias), entonces primero lo reemplazamos con el conjunto correspondiente de secuencias de un solo elemento, y entonces $A\times B$ significa el conjunto de todas las concatenaciones de una secuencia de $A$ delante de una secuencia de $B$. Con esa interpretación realmente obtenemos la identidad entre $(A\times B)\times C$ y $A\times (B\times C)$.

Sin embargo, los productos cartesianos son útiles para muchas otras cosas que no sean números, y es bastante complicado y tedioso formalizar exactamente cómo funciona el producto cartesiano de concatenación de secuencias en plena generalidad de manera que cubra todos los casos en los que quisiéramos utilizar el concepto. Por ejemplo, ¿qué pasa si uno de los conjuntos tiene miembros que son cosas que ya representamos como pares de algo, pero queremos ignorar ese detalle de implementación mientras trabajamos con ellos a un nivel de abstracción más alto? Esto bien podría ser el caso incluso para los números -- una implementación popular de los números reales como cortes de Dedekind representa cada número real como un par de dos conjuntos de racionales. ¡Ciertamente no queremos que esos pares conviertan a un miembro de $\mathbb R\times \mathbb R$ en una secuencia ordenada de cuatro subconjuntos de $\mathbb Q$!

Entrar en detalles tan minuciosos para hacer que dichos detalles funcionen completamente formalmente generalmente no vale la pena. Aquí es un caso donde realmente es mucho más fácil simplemente "saber lo que se está haciendo" que hacer que las fórmulas sigan reglas automáticas a ciegas para saberlo, que nadie (ni siquiera Spivak) se molesta en ser 100% formal.

En lugar de formular reglas formales e impenetrables sobre productos cartesianos, uno entonces imagina una de dos cosas:

• Que los productos cartesianos son siempre productos de concatenación de secuencias, y que un operador invisible de "hacer un conjunto de cosas en un conjunto de secuencias de longitud 1" se da por sentado en fórmulas donde es necesario para que las matemáticas tengan sentido (pero no en otros lugares).

• Que $(A\times B)\times C$ y $A\times(B\times C)$ no son exactamente idénticos, pero están relacionados por una biyección invisible que se da por sentada en fórmulas donde es necesario para que las matemáticas tengan sentido. (Esto es algo más general que la solución anterior porque la idea de biyección implícita puede usarse para resolver muchos otros problemas aburridos similares a este, mientras que la idea de concatenación de secuencias es específica de los productos cartesianos).

Se espera tácitamente que los estudiantes eventualmente aprendan lo suficiente para saber cómo se podrían hacer visibles los operadores de arreglar invisibles en todas partes, aunque hacerlo realmente no trae ninguna recompensa real y por lo tanto rara vez se hace.

Después de todo, somos matemáticos. Saber que una solución existe es suficiente para nosotros.

El matemático ve las pinzas y la bolsa de zanahorias, exclama "¡Ajá! ¡Existe una solución!" y vuelve a la cama.