Grupo de Galois de$P(X) = X^5 -7$

Question

Estoy tratando de encontrar el Grupo de Galois de un polinomio, mientras no me gustaría saber la respuesta me gustaría un empujón en la dirección correcta si eso está bien!

Deje $P(X) = X^5 - 7 \in \Bbb Q[X]$. Soy consciente de que esto tiene raíces

$$\alpha_1 = 7^{1/5},\ \alpha_2 = 7^{1/5}\zeta_5,\ \alpha_3 = 7^{1/5}\zeta_5^2, \ \alpha_4 = 7^{1/5}\zeta_5^3,\ \alpha_5 = 7^{1/5}\zeta_5^4,$$

donde $\zeta_5 = e^{2\pi i/5}$. Puedo ver de inmediato que el $P$ tiene la división de campo de $K \Bbb Q(7^{1/5}, \zeta_5)$, y que $P$ es un polinomio separable así que esta es una extensión separable. También, $[K:\Bbb Q] = 20$ lo $\operatorname{Gal}(K/\Bbb Q)$ ha $20$ elementos.

Estoy teniendo problemas tratando de encontrar estos elementos, aunque. Una sugerencia que me dio fue tratar de encontrar el polinomio mínimo de $\alpha_1^2\alpha_2^3$ sobre $\Bbb Q$. Sé que esto es una raíz de $X^5 - 7^5$, y esto es reducible sobre $\Bbb Q$ as $X^5 - 7^5 = (X-7)(X^4 + 7X^3 + 49X^2 + 343X + 2401)$. Ahora, $\alpha_1^2\alpha_2^3$ no satisface $X - 7 = 0$, por lo que debe ser una raíz del otro factor. Pero ahora $m(X) = X^4 + 7X^3 + 49X^2 + 343X + 2401$ es de Eisenstein sobre $\Bbb Q$ con el primer $5$ después $X \mapsto X+2$, y es monic, así que creo que $m(X)$ es el mínimo polinomio sobre $\Bbb Q$ de % de$\alpha_1^2\alpha_2^3$.

Ahora me pueden encontrar todos los Galois Conjugados de $\alpha_1^2\alpha_2^3$ ya que estas son sólo las raíces de la $m(X)$. Estos son $\alpha_1^2\alpha_2^3$, $\alpha_1^3\alpha_2^2$, $\alpha_1^4\alpha_2$, y $\alpha_1\alpha_2^4$. Ahora estoy teniendo problemas para ver por qué esto es útil para la búsqueda de $\operatorname{Gal}(K/\Bbb Q)$. Claramente cada uno de estos elementos es en $\Bbb Q(7^{1/5}, \zeta_5)$, por lo que el envío de ellos a cada uno de los otros a través de automorfismos que debe incluir un conjunto de elementos de $\operatorname{Gal}(K/\Bbb Q)$, pero estoy teniendo dificultades para describir estos automorfismos correctamente.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

El Galois automorfismos son determinados por donde envían $\newcommand{\al}{\alpha}\al=\sqrt[5]7$ e $\newcommand{\ze}{\zeta}\ze=\exp(2\pi i/5)$. Cada uno puede map $\al$ a cualquier elemento del conjunto $\{\al,\ze\al,\ze^2\al,\ze^3\al,\ze^4\al\}$ e $\ze$ a cualquier elemento del conjunto $\{\ze,\ze^2,\ze^3,\ze^4\}$.

Para ver la división de campo de $K=\Bbb Q(\al,\ze)$ tiene el grado $20$, nota que $X^5-7$ es de Eisenstein, de modo que $K$ contiene un grado $5$ subcampo, y el polinomio mínimo de $\ze-1$ es también Eisenstein, por lo $K$ contiene un grado $4$ subcampo.

No veo la relevancia de la sugerencia, sin embargo.