Construcción de Cuestiones de Variedades Proyectivas.

Question

Me cuesta entender la construcción de Variedades Proyectivas de Mumford. En la imagen que subí aquí, ¿Debemos entender cada$R_n$ como$M_n/P_n$, donde$M_n:=$ {polinomios homogéneos en$k[x_1,...,x_n]$ de grado n} y$P_n:=$ { ¿Polinomios homogéneos en$P$ de grado n}? ¿En qué caso, cómo se considera$K(X)$, como lo define Mumford, como un anillo?

Answer 1

El grupo abeliano$R_k$ es la imagen de$k[X_0,\dots,X_n]_k$ debajo del morfismo de anillo canónico$$k[X_0,\dots,X_n]\to R=\frac {k[X_0,\dots,X_n]}{P}.
La notación$k[X_0,\dots,X_n]_k$ representa el conjunto de polinomios homogéneos de grado$k$ (he modificado la mala notación de Mumford, donde$n$ representa dos números no relacionados).
El isomorfismo estándar de Noether muestra que$R_k$ es isomorfamente canónico a$\frac {k[X_0,\dots,X_n]_k}{P\cap k[X_0,\dots,X_n]_k}$, tal como se supone correctamente.
De todos modos,$k(X)$ es ciertamente un anillo e incluso un campo: el campo de función racional de$X$.

Answer 2

1) Sí, tu idea es correcta:

Si $S=\bigoplus_n S_n$ es graduado de anillo y $I \subseteq S$ es un homoreneous ideal, que básicamente significa que $I=\bigoplus_{n}I_n$, donde cada una de las $I_n \subseteq S_n$ es un subgrupo. Entonces tenemos

$$R=S/I=\left(\bigoplus_n S_n\right)/\left(\bigoplus_n I_n\right)\simeq \bigoplus_n S_n/I_n,$$

lo que muestra que el cociente del anillo de $R$ tiene un natural de clasificación, es decir, $S_n/I_n$ es considerado para ser el grupo homogéneo de elementos de grado $n$.

2) Ahora, desde que se había graduado el primer ideal, el cociente resultante es una parte integral de dominio, y por la localización en el conjunto $S$ de todos homogéneos (aviso que es multiplicatively cerrado), se obtienen unos anillo de $S^{-1}R$, no es necesario un campo. Sin embargo, dado que todos los denominadores son homogéneos, tiene sentido definir el grado de la siguiente manera: Siempre que $f, g \in R$ son homogéneos, se definen $$\deg \left(\frac{f}{g}\right)=\deg f - \deg g.$$ Usted puede comprobar que esto define la clasificación en $S^{-1}R$. Ahora, tome los sub-anillo consta de todas estas fracciones de grado cero, y usted termina precisamente con el campo de Mumford se describe en la última línea.

3) Por el camino, observar que el resultado es de hecho un campo.