¿Cómo puedo saber que la secuencia$a_n=\frac {\ln(n)} {n}$ converge y a qué converge?

Question

Tengo que "estudiar el límite de comportamiento" y calcular el límite, si es que existe.

Esto es lo que he hecho hasta ahora. Con el fin de estudiar el límite de comportamiento traté de comprobar primero la monotonía y el acotamiento de la secuencia. La secuencia fue encontrado para no ser monótono para todo n. Desde que no, he probado a intentar demostrar que la secuencia de Cauchy, y si fue así, que me llevaría a haber completado el "estudio del límite de comportamiento" parte. Aquí está mi intento en la parte de cauchy:

Para cada ϵ>$0$ existe un $N$ tal que $m,n>N$ implica que |$a_n - a_m|<ϵ$ para $n\geq m$ $$|a_n-a_m|=\bigg|\frac {\ln(n)} {n}-\frac {\ln(m)} {m}\bigg|\leq \bigg|\frac {\ln(n)} {n}\bigg|+\bigg|\frac {\ln(m)} {m}\bigg|\Leftrightarrow \frac {\ln(n)}{n}+\frac{\ln(m)}{m}<ϵ$$ $$\frac {\ln(n)}{n}+\frac{\ln(m)}{m}<ϵ \Leftrightarrow \frac {\ln(n)}{n}<ϵ- \frac {\ln(m)}{m}$$ (Ahora me quedo atascado. No sé si lo que hice hasta ahora es incluso corregir, y si es que no sé a dónde ir desde aquí)

Aunque me quedé atrapado en el cauchy parte me fui a calcular el límite. $$\lim a_n=\lim\frac{\ln(n)}{n}=\lim\frac{1}{n}\bigg(\ln(n)\bigg)=\lim \ln(n)^{\frac{1}{n}}$$ Por eso, $\lim {e^{a_n}}=\lim e^{\ln(n)^{\frac{1}{n}}}=\lim n^{\frac {1}{n}}=1$ ( he demostrado que el uso de la definición epsilon)

Por lo tanto, debido a $\lim e^{a_n}=1\ \lim \ln(e^{a_n})= \lim a_n=\ln(1)=0$

Cualquier ayuda (en la parte de cauchy sobre todo)? Gracias de antemano.

Answer 1

Cometiste un error.$$\left|\frac{\log(m)}{m}-\frac{\log(n)}{n}\right| \leq \left|\frac{\log(m)}{m}\right| - \left|\frac{\log(n)}{n}\right|$ $ Está mal, los rhs podrían ser más pequeños, cero los lhs no.
La función es monótona para$n$ lo suficientemente grande (para$n>e$), así que solo demuestre la monoticidad para$n>3$.

Answer 2

Considerar la continua versión:

$$f(x) = \frac{\ln x}{x}$$

Calcular la derivada:

$$ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} $$

Al $x > e$, esta derivada es negativa y por lo tanto es una función decreciente de $x > e$. Por otro lado, es claro que esta función también está delimitada por encima de $0$, por lo que la secuencia de $a_n$ está delimitado por encima de $0$, y la disminución de $n > 2$. Monotono teorema de convergencia dice que $a_n$ debe converger.

Para encontrar lo que converge a, podemos utilizar la regla de L'Hospital:

$$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$$

Answer 3

Puede usar el hecho de que$n^{1/n}\rightarrow 1$ como$n\rightarrow \infty$.