Por qué no hay rastro de operador en $L^2$?

Question

Hemos de seguimiento operador que nos permite definir los valores de límite de una $H^1$ función. Esto es debido al hecho de que $C^\infty$ es denso en $H^1$ bajo $H^1$ norma, creo.

Estoy seguro de que cualquiera de las $C^0$ o $C^\infty$ también es denso en $L^2$ $L^2$ norma, así que ¿por qué no hay rastro del operador en este caso? O estoy equivocado?

Answer 1

El problema es que aunque por supuesto, usted puede definir una traza $T: C^\infty(\overline \Omega) \to L^2(\partial \Omega)$, para ser capaz de extender $T$ a todos los de $L^p(\Omega)$ en una manera significativa, no es suficiente tener cualquier operadora de edad $T$, pero usted realmente desea $T$ a ser continua, es decir, no tendría que ser una constante a lo $C >0$ tal que

$$\Vert Tf \Vert_{L^2(\partial \Omega)}\le C \Vert f \Vert_{L^2(\Omega)}$$

En este caso nos gustaría ser capaces de extender $T$ a un operador $T: L^2( \Omega) \to L^2(\partial \Omega)$ muy bien. Este es el caso si se toma el $H^1$ norma en lugar de la $L^2$ norma. Sin embargo, es un buen ejercicio para demostrar que un $C$ no existe para $L^2$ (o de ninguna de las $L^p$ de espacio). Considere la posibilidad de algo tan simple como $\overline \Omega = [0,1]$.