Razona si es cierto que:

Question

Demuestre que $$ p_1 + \ sum_ {k = 2} ^ n \ left (p_k \ prod_ {i = 1} ^ {k-1} (1-p_i) \ right) = 1 - \ prod_ {k = 1} ^ n (1-p_k) \. $$ Estoy trabajando en un código donde tengo que hacer esos cálculos. Quiero ver si esta igualdad se mantiene en general (para ahorrar mucho tiempo de cálculo). Lo probé en la práctica y parece que es cierto, pero tener la prueba general sería genial.

Gracias.

Answer 1

Defina, como en su segunda ecuación,

PS

Entonces

PS

Con el hecho de que$$a_n=p_1 + \sum_{k=2}^n \left(p_k\prod_{i=1}^{k-1}(1-p_i)\right) \text{ and } b_n=1 - \prod_{k=1}^n(1-p_k)$, debemos tener$$a_{n+1}-a_n=p_{n+1}\prod_{i=1}^n(1-p_i)=\left(1-\prod_{k=1}^{n+1}(1-p_k)\right)-\left(1-\prod_{k=1}^n(1-p_k)\right)=b_{n+1}-b_n.$ para todos$a_1=b_1$ por inducción. Esto muestra la igualdad que se mantiene independientemente de los valores que asume el$a_n=b_n$: es solo una reformulación genérica telescópica .

Answer 2

Imagina que $E_1,E_2,\dots,E_n$ son mutuamente excluyentes resultados posibles de un experimento, donde $E_k$ se produce con una probabilidad de $p_k$. Realizar el experimento $n$ veces en una fila, obteniendo resultados $R_1,\dots,R_n$. Decir que el $k$-ésimo ensayo es un hit si $R_k=E_k$. En la parte derecha de la ecuación es la probabilidad de obtener al menos un hit. El plazo $p_k\prod_{i=1}^{k-1}(1-p_i)$ sobre la del lado izquierdo es la probabilidad de que el primer golpe se produce en el $k$-ésimo ensayo. Para los distintos $k$ estas posibilidades son distintos, por lo que la suma de la izquierda es claramente una probabilidad igual a la derecha.

Answer 3

Probabilística de la interpretación (tal vez más fácil de entender en comparación con Davide de la respuesta).

Ha $n$ monedas, moneda de $i$ tiene probabilidad de $p_i$ de la muestra jefes.

Ahora lanzan la moneda 1 moneda 2 moneda 3 en orden, hasta que usted consigue una de las cabezas, en el que caso de que se detenga.

La probabilidad de obtener cara es

$$p_1 + p_2(1-p_1) + p_3(1-p_1)(1-p_2) + \dots + p_n(1-p_1)\dots(1-p_{n-1})$$

Esto es igual a la probabilidad de no tener todas las colas que se

$$ 1 - (1-p_1)(1-p_2)\dots(1-p_n)$$

Que el lado izquierdo es la primera expresión y el lado derecho es la segunda.

Answer 4

Tome$A_1,\ldots A_n$$n$ eventos independientes con$P(A_i)=p_i$. Luego$$p_1+\sum_{k=2}^np_k\prod_{i=1}^{k-1}(1-p_i)=P(A_1)+\sum_{k=2}^nP(A_k)P\left(\bigcap_{i=1}^{k-1}A_i^c\right)=P\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)$ $, ya que es una unión desunida y$$1-\prod_{k=1}^n(1-p_k)=1-\prod_{k=1}^nP(A_k^c)=1-P\left(\bigcap_{k=1}^nA_k^c\right)=P\left(\left(\bigcap_{k=1}^nA_k^c\right)^c\right)=P\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right).$ $. Tenga en cuenta que no usamos el hecho de que$\sum_{j=1}^np_i=1$.