Límites: si $ \lim_{x\to\infty}f(x) = 0 $ , lo hace $\lim_{x \to 0}f(1/x)$ ¿Existe?

Question

Dejemos que $f$ sea una función: $$ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ Se sabe que: $$ \lim_{x\to\infty}f(x) = 0 $$ Necesito probar / refutar que el siguiente límite existe: $$ \lim_{x \to 0}f\left(\frac{1}{x}\right) $$

Answer 1

Ejemplo:

$$f(x)=\begin{cases}\frac1x&;x>0\\1&;x\le0\end{cases}$$

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$$

pero

$$\lim_{x\to0^+}f(1/x)=\lim_{x\to0^+}x=0$$

$$\lim_{x\to0^-}f(1/x)=\lim_{x\to0^-}1=1$$

Answer 2

Quizá el contraejemplo más sencillo sería $f(x)=e^{-x}$ .

El límite $$\lim_{x\to 0} e^{-\frac1x}$$ no existe, porque si $x$ es pequeño pero positivo, $e^{-\frac1x}$ está cerca de $0$ pero si $x$ es pequeño y negativo, entonces $e^{-\frac1x}$ es grande.