Sobre la definición de las formas modulares

Question

En muchos libros, veo que la gente define las formas modulares como funciones holomorfas/meromorfas en el semiplano superior tales que son invariantes bajo la $|_k$ acción del grupo $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ o bajo un subgrupo de congruencia del mismo ( $f|_k A=f \quad \forall A\in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ ).

Al mismo tiempo, definen el operador de barra oblicua $|_k$ para grupos más grandes como $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ o $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Q})$ pero nunca he visto a nadie definir la forma modular como invariante bajo la $|_k$ acción de $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ o $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Q})$

Mi pregunta: ¿por qué $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ y sus subgrupos se utilizan siempre para definir las formas modulares, ¿y por qué no las definimos habitualmente para grupos mayores?

Gracias.

Answer 1

La respuesta de Mike Miller es clara y va al grano. Si todavía está algo insatisfecho, para ayudar a construir la intuición considere las siguientes observaciones:

1. Definir el grupo modular como $SL_2(\mathbb{Z})$ nos permite afirmar que si $f$ es una función débilmente modular, entonces $f$ es periódica en $\mathbb{Z}$ . De hecho, desde $\alpha = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \in SL_2(\mathbb{Z})$ tenemos que $f(z + 1) = (0(z) + 1)^{k}f(z) = f(z)$ .

2. Tenga en cuenta que esta no es una propiedad única de $SL_2(\mathbb{Z})$ desde $\alpha$ también es un elemento de $SL_2(\mathbb{R})$ pero $SL_2(\mathbb{Z})$ es en un sentido amplio el grupo "más pequeño" que tiene esta propiedad. Pero aún así deberías estar molesto conmigo ya que a esto debería llamarlo más apropiadamente y con precisión la acción de $SL_2(\mathbb{Z})$ sobre las formas modulares en general (no sólo las funciones débilmente modulares) como "integralmente periódicas", es decir, la simetría implicada en la periodicidad de las formas modulares está de alguna manera relacionada con la ciclotomía, por lo que no es de extrañar que las aproximaciones más modernas al estudio de las formas modulares hayan ido en la línea de las representaciones de Galois. Pero no debo hablar más de esto ya que está fuera de mi alcance en este momento.

3. Sin embargo, la razón más importante por la que el grupo modular es $SL_2(\mathbb{Z})$ , denótese por $G$ es que cuando estamos investigando formas que son invariantes bajo un subgrupo particular de $G$ En particular, nos fijamos en los subgrupos de congruencia como $$\Gamma_0(N) = \{\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \in SL_2(\mathbb{Z}) \mid c \equiv 0 \pmod N\}$$ y $$\Gamma_1(N) = \{\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \in SL_2(\mathbb{Z}) \mid a \equiv d \equiv 1 \pmod N, c \equiv 0 \pmod N\}$$ Ahora bien, una cosa que hay que notar aquí es que, puesto que se trata efectivamente de subgrupos de $SL_2(\mathbb{Z})$ los elementos de estos grupos tienen determinante igual a $1$ . En particular, cuando observamos $\Gamma_1$ podríamos haber hecho simplemente que la definición excluyera la condición de que $a \equiv 1 \pmod N$ ya que si $d \equiv 1 \pmod N$ entonces $a$ debe ser de hecho congruente con $1$ modulo $N$ ya que las entradas son integrales. Esta tendencia a "forzar" las entradas para que sean ciertos valores se da con frecuencia, especialmente cuando intentamos entender cosas como qué es un conjunto completo de representantes del coset, $\{\beta_j\}$ , para $\Gamma_1 \alpha \Gamma_1 = \cup_j \Gamma_1 \beta_j$ y $\alpha = \{\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & p \end{array} \right)$ , $p$ un primo.

Una cosa que ya habrás notado es que la noción de subgrupo de congruencia no tiene sentido si las entradas no son integrales. En cuanto a por qué estudiamos los subgrupos de congruencia en primer lugar, es una cuestión que abarca siglos de Teoría de Números. Si quieres saber más, el libro A First Course in Modular Forms de Diamond y Shurman hace un buen trabajo explorando la interacción entre las formas modulares y las curvas elípticas desde un punto de vista avanzado.