Función meromórfica en la unidad de disco con un solo polo de orden n

Question

Deje $f$ ser meromorphic en un barrio de $\{|z| \leq 1\}\setminus \{1/2\}$ y tiene un polo de orden o $n$ a $1/2$. Supongamos que $|f| < 3$ a $\{|z|=1\}$. Demostrar que para cualquier $\phi \in \mathbb{R}$, $f$ alcanza el valor de $3e^{i\phi}$ exactamente $n$ veces (contando multiplicidades) en $\{|z| \leq 1\}$.

Sospecho que de alguna manera Rouch del teorema serán necesarios para completar esta prueba. Empecé con la observación de que existe una holomorphic función de $g(z)$ en $\mathbb{\bar{D}}$ dado por $g(z) = (z-1/2)^n f(z)$ tal que $g(1/2) \neq 0$. Por lo tanto, utilizando el principio del máximo que puedo escribir que en $\mathbb{\bar{D}}$, $|g| < \max_{|z|=1} |z-1/2|^n |f| < 3\dfrac{3^{n}}{2^n}$. Pero estoy confundido sobre lo que holomorphic funciones para elegir y comparar, mientras que la aplicación del teorema de Rouch.

Answer 1

Tomar $u(z) = - 3 e^{i \phi} (z- \frac 1 2)^n$. Luego,$u(z)$ y$g(z)$ ambos son holomorfos dentro del disco cerrado de la unidad. En el círculo unitario,$|u(z)| = 3 |z-\frac1 2|^n > |f(z)| |z- \frac 1 2|^n = |g(z)|$. Entonces, según el teorema de Rouche, el número de raíces de$g(z) - 3^{i \phi} (z - \frac 12)^n$ y$3^{i \phi} ( z - \frac 12)^n$ dentro de$|z| \le 1$ son iguales, es decir$n$ y esas son precisamente las soluciones de$f(z) = 3 e^{i \phi}$.

Answer 2

Puedo demostrar que tenemos un límite inferior de $n$.

Deje $\mathcal{C}$ denota el conjunto de soluciones dentro de la unidad de disco a la ecuación de $|f|=3$. Ya tenemos un polo en $1/2$, habrá una curva cerrada en torno a $1/2$ donde $f$ ha módulo de $3$ - de hecho, para cada ángulo real $\theta\in[0,2\pi)$, sigue el segmento de línea con ángulo de $\theta$ se originan en $1/2$ hasta llegar a un punto de $z$ tal que $|f(z)|=3$. Debemos llegar a un punto desde $|f|<3$ en la unidad de disco, y la unión de todos estos puntos se forma una curva cerrada debido a la continuidad de la $f$. Combinando el hecho de que $|f|<3$ sobre el círculo unitario con la máxima módulo principio, podemos concluir que $\mathcal{C}$ se compone sólo de esta curva cerrada alrededor del polo.

Aplicando el argumento de principio, tenemos que $$\int_{\mathcal{C}} \frac{f'(z)}{f(z)}dz =-2\pi n i,$$ and so the change in argument around the circle is precisely $-2\pi ni$. This implies that for every real number $\phi$, the function $f$ attains the value $3e^{i\phi}$ at least $$ n veces dentro de la unidad de disco.