Deje que$\mathcal{F}$ sea una gavilla cooriente en el esquema proyectivo$X$. Mi pregunta es simple ... Si$\operatorname{dim}\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ es cero, entonces$\mathcal{F}(n) =\mathcal{F}$ para cualquier entero$n$?
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Youngsu
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Uno debe leer los comentarios de Matt E antes de leer el siguiente. Estoy teniendo este como un registro.
Deje $X = \hbox{Proj} \, (K [x,y])$ e $Y = \hbox{Proj} \, (K[x,y]/(x^2))$. Escribir $i: Y \hookrightarrow X$ e $F = i_* \mathcal{O}_Y$. A continuación,$\dim \hbox{Supp} \, F = 0$. Uno ha $\Gamma(X, F) = 1$, pero $\Gamma(X, F(i)) = 2$ para $i \ge 1$.
Creo que esto tiene que ver con Hilbert-polinomio. Desde $\dim F = 0$, el grado del polinomio de Hilbert es $0$, es decir, es una constante. Desde el grado de $F$ es $2$, uno ha $\Gamma(X, F(i)) = 2$ para $i \gg 0$. Sin embargo, esto no nos dice el comportamiento de Hilbert-función al $i$ es "pequeña".
En la anterior $\Gamma(X, F) = 1$ es incorrecta. La secuencia exacta de graduados $S= K[x,y]$-módulos $$ 0 \(x^2) \S \S/(x^2) \a 0 $$ induces an exact sequence of $\mathcal{S}_X$-módulos $$ 0 \a \mathcal{S}_X (-2) \a \mathcal{S}_X \F \a 0. $$ Tomando $\Gamma(X,-)$, obtenemos una secuencia exacta $$ H^0(X, \mathcal{S}_X (-2)) \H^0(X, \mathcal{S}_X) \H^0(X, F) \H^1(X, \mathcal{S}_X (-2)) \H^1(X, \mathcal{S}_X ). $$ Desde $H^0(X, \mathcal{O}_X (-2)) = H^1(X, \mathcal{O}_X ) = 0$ e $H^0(X, \mathcal{O}_X) = H^1(X, \mathcal{O}_X (-2)) = 1$, podemos ver que $H^0(X, F) = \Gamma(X,F) = 2$.
Deje que$Z$ sea el soporte de$F$. Luego$\mathcal F(n) := \mathcal F \otimes \mathcal O(n) = \mathcal F \otimes (\mathcal O(n)_{| Z})$ (es decir, podemos restringir$\mathcal O(n)$ a$Z$ antes de calcular el producto tensorial).
Debido a que$Z$ es de dimensión cero, es una unión de Especificaciones de anillos locales Artinianos, por lo que (ejercicio) cualquier gavilla invertible en$Z$ es trivial. Por lo tanto,$\mathcal O(n)_{|Z} \cong \mathcal O_Z$, y así$\mathcal F(n) \cong \mathcal F$, según sea necesario.
