Deje que$f:[a,b] \rightarrow \mathbb R$ sea integrable y satisfaga $$ f \ left (\ frac {x + y} {2} \ right) = \ frac {1} {yx} \ int_x ^ yf (t) dt $$ para todos $x \neq y$,$x,y \in [a,b]$.
Qué pasa $f$? ¿Es afín la función?
Gracias
Respuestas
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Sin pérdida de generalidad, $a < 0 < b$. La integral de la fórmula nos dice que el $f$ es continua. El uso de la fórmula integral de nuevo, vemos que $f$ es diferenciable en $(-1,1)$. A continuación, diferenciando el equivalente a la formulación de $(y-x)f(\frac{x+y}{2}) = \int_x^y f(t) dt$, vemos que $$ f(y) = f\left(\frac{x+y}{2}\right) + \frac{y-x}{2}f'\left(\frac{x+y}{2}\right) $$ para todos los $a \le x, y \le b$. Ahora elija $h$ tal que $a \le h, -h \le b$ y establezca $y = h, x = -h$. De ello se sigue que $$ f(h) = f(0) + hf'(0) . $$ Por lo tanto, $f$ es afín en cualquier intervalo simétrico que está contenida en $[a,b]$. Al cambiar el intervalo, se deduce que el $f$ es afín a todas partes.
amcalde
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2925
Si $f: x \mapsto \lambda x$ para algunos $\lambda \in \Bbb{R}$,, a Continuación, $f$ satisface la anterior igualdad y es afín.
De lo contrario, supongamos $f$ no es afín, es decir, $f(x) \ne \lambda x$ cualquier $\lambda \in \Bbb{R}$. Desde la gráfica de $f$ no es una línea recta, podemos encontrar dos puntos de $x$, e $y$ tal que $\left.f\right|_{(x,y)}$ se encuentra enteramente por encima (o por debajo) el segmento de la línea de $(x,f(x))$ a $(y,f(y))$. De hecho, podemos encontrar $(x,y)$ tal forma que el valor en el punto medio, $f((x+y)/2)$, se encuentra más alejado de la línea recta desde todos los demás puntos en $(x,y)$. Que se establezca $g(u)$ como sigue:
$$g(u)=\left|\left((1-u) x + u y,f\left((1-u) x + u y\right)\right)-\left(\frac{(1-u)(x,f(x))+(u)(y,f(y))}{2}\right)\right|$$
donde $u \in [0,1]$. El primer término traza la gráfica de $f$ el segundo traza la línea de segmento anterior.
Siempre podemos encontrar algo de $x$ e $y$ tal que el máximo de $g(u)$ se produce exactamente en $u=(x+y)/2$. Por la igualdad de $f((x+y)/2)$ es el promedio de $f$ sobre el intervalo de $(x,y)$ y por lo tanto no puede ser más alejado de la línea recta de $(x,f(x))$ a $(y,f(y))$ desde $f$ es continua (debido a la integral) y debe, por tanto, continuamente se acercan a la línea de segmento en sus extremos. Por lo tanto, en promedio, $f$ está más cerca de la línea de lo que es en su máxima distancia. Esta es una contradicción para este caso.
De ahí que la única opción es $f$ ser afín.
En la figura intento encapulate esta prueba. La línea punteada es el promedio de la función azul sobre el segmento. No puede estar lejos de la línea recta como el punto más lejano (el vértice del azul del gráfico).
