Condición de cadena descendente y una identidad

Question

Deje que $R$ ser un anillo con condición de cadena descendente en los ideales correctos. Supongamos que $l(R)=0$ (el aniquilador izquierdo de $R$ ) y $ \exists c \in R$ con $r(c)=0$ (el aniquilador derecho de $c$ ).

Muestra que $R$ tiene identidad.

Creo que puedo probar que existe una identidad de izquierdas, aunque no estoy seguro de ello. Parece que no puedo encontrar una manera de construir una identidad, así que si alguien pudiera indicarme un camino, ¡sería genial!

Saludos

Answer 1

Es una buena pregunta. Gracias por compartirla.

Para $a \in R,\,$ $aR := \{ar\mid r \in R\}$ es un idal derecho (nota: no es necesariamente el ideal generado por $a$ ). Por lo tanto, $$cR \supseteq c^2R\supseteq \cdots$$ es una cadena descendente de ideales de derecha y por la condición de cadena descendente la cadena se estabiliza, es decir $c^nR = c^{n+1}R$ para algunos $n > 0$ . En particular, hay $e \in R$ s.t. $$c^n \cdot c = c^{n+1}\cdot e.$$ Así que $c^n(c-ce)=0$ y como el anulador derecho de $c$ es cero, obtenemos $c-ce=0.$ Multiplicando por la derecha se obtiene para todos $r \in R:\,\, 0=cr-cer=c(r-er)$ es decir $r-er$ es un anulador derecho de $c$ . Por lo tanto, $r=er$ y $e$ una identidad de izquierdas.

Fijar $r \in R$ . Entonces, para todos los $s \in R$ : $$(r-re)s=rs - r(es)=rs - rs =0$$ Así, $r-re$ anula $R$ desde la izquierda y como el anulador izquierdo de $R$ es cero, encontramos $r=re$ y $e$ es también una identidad correcta.