El número de ceros es igual al número de funciones analíticas linealmente independientes

Question

Estoy tratando de leer este documento y estoy atascado en un punto en particular. Los autores están construyendo una función analítica $f(z)$ que deben satisfacer las siguientes condiciones de contorno:

$\frac{f(z+L_1)}{f(z)}=e^{i\phi_1}\ \ $ y $\ \ \frac{f(z+L_2e^{i\theta})}{f(z)}e^{i\pi N_s\big(2z+L_2e^{i\theta}\big)/L_1}=e^{i\phi_2}\ \ \ \ \ \ \ $ (1)

donde $z=x+iy$ , $N_s\in \boldsymbol{N}$ , $\theta\in[0,\pi/2]$ y $L_1,L_2\in \boldsymbol{R}_+$ .

Utilizando el teorema del residuo argumentan que esto significa $f(z)$ tiene $N_s$ ceros en el paralelogramo definido por $\boldsymbol{L}_1=(L_1,0)$ y $\boldsymbol{L}_2=(L_2\cos\theta,L_2\sin\theta)$ .

Entonces viene mi problema: Los autores escriben que esto implica que (1) tiene $N_s$ soluciones linealmente independientes. No entiendo por qué exactamente; ¿se trata de un teorema general sobre el número de ceros y las funciones linealmente independientes?

EDIT: He pensado en el siguiente enfoque, con un punto especialmente incierto:

Desde $f(z)$ es analítica converge a su serie de Taylor. Teniendo $N_s$ se puede escribir como un polinomio de grado $N_s$ (aquí es donde estoy más inseguro, especialmente con $\sin(z)$ etc.). Pensando en el espacio de funciones como un espacio vectorial con base $B=\{1,z,z^2,\ldots\}$ esto significa que hay exactamente $N_s$ funciones linealmente independientes con este número de raíces.

¿Alguien puede ver un fallo en este argumento? ¿O una forma de reforzarlo?

Answer 1

En realidad no son condiciones "límite". Estas condiciones definen un haz lineal sobre un curva elíptica (toroide).

Al parecer, los autores se refieren a la Teorema de Riemann-Roch para una curva elíptica . No entiendo muy bien estas cosas, pero este teorema relaciona la dimensión del espacio de secciones holomorfas de un haz lineal (funciones ≈ con "condiciones") sobre curvas complejas con una invariante topológica del haz conocida como "grado", "número de Euler" o "número de Chern $c_1$ "(véase también este hilo de Mathoverflow ).

Por cierto, el efecto Hall fraccionario requiere unas matemáticas muy elaboradas.