Encontrar la región de rechazo de un caso dado

Question

Un distribuidor de casino sospecha que su muerte no es una feria de morir. Él piensa que al morir le da más posibilidades a los números (la probabilidad de que un incluso el número es mayor que $0.5$). Para probar su sospechosos decide tiene un experimento, se escribe el resultado de $60$ independiente morir rollos. El distribuidor diría que el morir es injusto, si el número de incluso los números en los $60$ rollos mayor que la de $35$.

Me piden:

1. Formalizar el distribuidor de la asunción.
2. ¿Cuál es la región de rechazo ($C$)?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos errores ($\alpha$ e $\beta$)?

Empecé diciendo que $X$, el número de incluso los resultados de una feria de cube $X\sim B(\frac{1}{2}, 60)$, y por lo tanto $X \sim N (30, 15)$

$H_0: \mu = 30$
$H_1: \mu > 30$

Así que este es el repartidor de la asunción. El rechazo área debe derivarse del hecho de que el distribuidor va a rechazar $H_0$ si y sólo si los números en el experimento será menor o igual a $35$. Estoy teniendo un tiempo difícil encontrar $C$ y el cálculo de $\alpha$ e $\beta$.

Answer 1

Deje $X$ el número de números observados en 60 rollos.

1. Formalizar el distribuidor de la asunción.

Qué se necesita exactamente, aquí dependerá de lo que te han enseñado. El hecho de que se dice que "la asunción" en lugar de "supuestos" me deja en la duda en cuanto a que asunción se solicita y el grado de formalismo requerido. Supongo que es el supuesto de simetría en el morir, sino que puede ser una declaración formal relativa a la resultante de la probabilidad. Pero, de nuevo podría ser sobre la hipótesis de Bernoulli (constante de la probabilidad y de la independencia a través de ensayos). O podría ser como usted sugiere (y es probable que usted sabe mejor que yo lo que se busca).

2. ¿Cuál es la región de rechazo ($C$)?

Cómo te voy a escribir la correspondiente subconjunto dependerá de cómo te han enseñado, sino que será una forma de expresar el conjunto de valores donde $X>35$.

3. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos errores ($\alpha$ e $\beta$)?

$\alpha$ es sencillo. Es $P(\text{rejection}|H_0\text{ is true})$, que es la probabilidad de estar en el rechazo a la región de al $p=0.5$.

Bajo $H_0$, $X\sim \text{Binomial}(60,.5)$. Por lo $P(X>35|n=60,p=0.5)$ es una simple distribución binomial de cálculo. Puedo hacer que 0.0775 el uso de la distribución binomial función en R. Usted estuviera haciendo uso de una aproximación normal y que puede ser lo que se requiere en su lugar. La pregunta entonces es si usar o no la continuidad de la corrección o no. Lo voy a usar aquí:

$P(X> 35|p=0.5)\approx P(\frac{X-60p}{\sqrt{60p(1-p)}}>\frac{35.5-60p}{\sqrt{60p(1-p)}}|p=0.5)$

$= P(Z>\frac{35.5-30}{\sqrt{15}}) \approx 0.0778$

.

$\beta$ depende del verdadero valor de $p$. Usted puede escribir como un binomio área de la cola que es una función de $p$, pero parece que se puede escribir como una normal de probabilidad que simplifica un poco las cosas.

$P(X\leq 35|p)= P(X<35.5|p)$

$\approx P(\frac{X-60p}{\sqrt{60p(1-p)}}<\frac{35.5-60p}{\sqrt{60p(1-p)}}|p)$

$= P(Z<\frac{35.5-60p}{\sqrt{60p(1-p)}}|p)$

$= \Phi(\frac{35.5-60p}{\sqrt{60p(1-p)}})$