"Teorema": no es $\omega$th inaccesible cardenal.
La "prueba": Asumir ZFC. Deje $\kappa_n$ ser $n$-th inaccesible cardenal; desde $V_\kappa$ es un modelo de ZFC para inaccesible $\kappa$, $V_{\kappa_n}$ es un modelo de ZFC + "hay $n-1$ inaccesible cardenales."
Ahora supongamos que hay $\aleph_0$ muchos inaccesible cardenales. A continuación, en particular, podemos tomar la $\omega$-th inaccesible $\kappa_\omega$, y aún habrá $\aleph_0$ muchos inaccessibles debajo de ella. Por lo tanto $V_{\kappa_\omega}$ es un modelo de ZFC+"hay $\aleph_0$ muchos inaccesible cardenales", y así por el segundo teorema de la incompletitud de que la teoría es inconsistente. $\square$
Pero este "resultado" es, literalmente, demasiado bueno para ser verdad. Así que cuando estoy mal aquí?
Edit: Sí, ahora me doy cuenta de lo que el error es. Daniel Fischer y GME son correctas - la existencia de $\aleph_0$ muchos inaccessibles no implica la existencia de una $\omega$th inaccesibles, así como el hecho de que no se $\aleph_0$ muchos números naturales no implica la existencia de el ordinal $\omega$.
En otras palabras, no pueden ser modelos de ZFC + "hay $\aleph_0$ muchos inaccessibles" de tal manera que cada inaccesibles tiene un número finito de inaccessibles debajo de ella, por lo que el argumento falla. De hecho, $V_{\kappa_\omega}$ es sólo un modelo: se sabe de $\kappa_n$ para todos finito $n$, pero ve $\kappa_\omega$ como una clase adecuada.