¿Qué hay de malo con esta "prueba" de que no hay$\omega$ th cardinal inaccesible?

Question

"Teorema": no es $\omega$th inaccesible cardenal.

La "prueba": Asumir ZFC. Deje $\kappa_n$ ser $n$-th inaccesible cardenal; desde $V_\kappa$ es un modelo de ZFC para inaccesible $\kappa$, $V_{\kappa_n}$ es un modelo de ZFC + "hay $n-1$ inaccesible cardenales."

Ahora supongamos que hay $\aleph_0$ muchos inaccesible cardenales. A continuación, en particular, podemos tomar la $\omega$-th inaccesible $\kappa_\omega$, y aún habrá $\aleph_0$ muchos inaccessibles debajo de ella. Por lo tanto $V_{\kappa_\omega}$ es un modelo de ZFC+"hay $\aleph_0$ muchos inaccesible cardenales", y así por el segundo teorema de la incompletitud de que la teoría es inconsistente. $\square$

Pero este "resultado" es, literalmente, demasiado bueno para ser verdad. Así que cuando estoy mal aquí?

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Edit: Sí, ahora me doy cuenta de lo que el error es. Daniel Fischer y GME son correctas - la existencia de $\aleph_0$ muchos inaccessibles no implica la existencia de una $\omega$th inaccesibles, así como el hecho de que no se $\aleph_0$ muchos números naturales no implica la existencia de el ordinal $\omega$.

En otras palabras, no pueden ser modelos de ZFC + "hay $\aleph_0$ muchos inaccessibles" de tal manera que cada inaccesibles tiene un número finito de inaccessibles debajo de ella, por lo que el argumento falla. De hecho, $V_{\kappa_\omega}$ es sólo un modelo: se sabe de $\kappa_n$ para todos finito $n$, pero ve $\kappa_\omega$ como una clase adecuada.

Answer 1

En muchos de estos falsos de las pruebas, si se mira de cerca, verá que el infinito parte juega un arenque rojo.

El mismo argumento, supuestamente, habría sido que si hay dos inaccesible cardenales, $\kappa<\lambda$,, a continuación, $V_\lambda$ satisfaría "existe un cardinal inaccesible", así, la teoría de la "$\sf ZFC$+, existe un cardinal inaccesible" demuestra su propia consistencia.

Pero todo lo que hicimos fue mostrar que existe un modelo de $\sf ZFC$ con un inaccesibles; y, de hecho, sólo nos mostró que $\sf ZFC$ con dos inaccesible cardenales demostrar la consistencia de $\sf ZFC$ con una inaccesible; mientras que $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$.

Y, por supuesto, el error es fácil de señalar aquí, uno inaccesibles no es lo mismo que dos inaccesible cardenales. Y hemos utilizado el hecho de que hay dos inaccesibles los cardenales y no el uno.

El mismo error, como se señaló en los comentarios y la edición, se hizo aquí. Han asumido que el $\omega$ inaccessibles media de $\omega+1$ inaccessibles. Pero hay una gran diferencia entre el $\sup\kappa_n$ e $\kappa_\omega$.

Más al punto, se debe medir el tipo de la orden y "discernible propiedades". Así que no se debe decir "Hay $\aleph_0$ inaccesible cardenales", sino "Hay $\omega$ inaccesible cardenales" vs "Hay $\omega+1$ inaccesible cardenales".

Esto puede estallar en indefinible tipos de orden, o en las clases, y de hecho en algún momento usted va a obtener algunos de los grandes cardenal $\lambda$ tal que $V_\kappa$ es una escuela primaria modelo de $V_\lambda$ para un cardinal inaccesible $\kappa$. En particular, todas las propiedades de primer orden de $\lambda$ reflejarán $\kappa$. Pero esto sólo significa que estamos usando las propiedades de la $\lambda$ que son de primer orden se puede expresar en $V$, pero no en $V_\lambda$ (como la declaración acerca de la clase de los números ordinales allí).