Equivalencia homotópica fuerte en espacios clasificadores a través de equivalencia homotópica débil en tópicos clasificadores

Question

En su libro Classifying spaces and classifying topoi, Moerdijk demuestra que existe una equivalencia de homotopía débil entre el topos clasificante del espacio Haefliger $\Gamma^q$ y el del monoide $M(\mathbb R^q)$ de aplicaciones suaves de $\mathbb R^q$ en sí mismo.

A partir de esto, concluye que los espacios clasificantes correspondientes $B\Gamma^q$ y $BM(\mathbb R^q)$ son débilmente homotópicamente equivalentes, utilizando

  

Sea $C$ una categoría topológica. Entonces hay una equivalencia de homotopía débil $f:Sh(BC)\to\mathcal B C$, donde $\mathcal B C$ representa el topos clasificante de $C$.

Mi problema es pasar de $Sh(BC)$ a $BC$. De hecho, dado que $BC=|Nerve(C)|$ tiene una base de conjuntos abiertos contractibles (¿verdad?), sus grupos de homotopía coinciden con los (pro)grupos de homotopía étale de $Sh(BC)$. Pero la definición de equivalencia de homotopía débil requiere la existencia de una función continua entre espacios topológicos que induzca esos isomorfismos en los grupos de homotopía. Por lo tanto, necesitaría algún $$g:B\Gamma^q\to BM(\mathbb R^q)$$ que induzca isomorfismos en homotopía, y no veo cómo recuperarlo a partir del funtor abstracto entre los topos de haces $$Sh(B\Gamma^q)\to\mathcal B \Gamma^q\to \mathcal BM(\mathbb R^q)\to Sh(BM(\mathbb R^q)).$$

¿Alguien puede darme una pista? Gracias de antemano.

Answer 1

Seguiré la terminología del libro: los espacios son espacios topológicos sobrios, los topos son toposes de Grothendieck y los morfismos de topos son morfismos geométricos.

Para espacios $X,Y$, las clases de isomorfismo de morfismos de topos $Sh(Y)\to Sh(X)$ corresponden a aplicaciones continuas $Y\to X$ - ver la Sección I.2. El final de la Sección I.4 da referencias a Artin-Mazur para el argumento de que para espacios localmente contractibles, el morfismo de topos es una equivalencia homotópica débil si y solo si la aplicación continua es una equivalencia homotópica débil. La contractibilidad local de $B\mathbb C$ se sigue del párrafo después de IV.2.2. (Teorema 12.1 de Artin-Mazur realmente asume también la paracompacidad; no estoy seguro si eso es un problema.)