Supongamos que tenemos una secuencia de variables aleatorias no negativas$(X_n)_n$ que convergen débilmente a la variable aleatoria$X$. Deje también que$(\alpha_n)$ sea una secuencia de números positivos que converjan a$\alpha>0$. Estoy atascado en probar o refutar que$\alpha_k X_n$ converge en la distribución a$\alpha X$. ¿Cualquier sugerencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Solo necesita verificar que las funciones de distribución acumulativa convergen en puntos de masa cero. Es decir, debe demostrar que:$$\mathbb{P}(\alpha_n X_n \le t) \rightarrow \mathbb{P}(\alpha X \le t),$$ for any $ t$ such that $ {P} (\ alpha X = t) = 0.$ Now you divide by $ \ Alpha,$ and since you know that: $PS
Para ver esto, simplemente observe que (asumiendo que$\mathbb{P}( X_n \le \frac{t}{\alpha}) \rightarrow \mathbb{P}(X \le \frac{t}{\alpha})$ y$ the result follows by showing that $ suficientemente grande) lo que se escribe en el LHS es igual a:$|\mathbb{P}( X_n \le \frac{t}{\alpha_n})-\mathbb{P}( X_n \le \frac{t}{\alpha})| \rightarrow 0$$\alpha_n \le \alpha$ \ epsilon. $
Tenga en cuenta que estas últimas desigualdades son solo un truco para eliminar el límite de$n$ y$$\mathbb{P}( X_n \in [\frac{t}{\alpha_n},\frac{t}{\alpha} ]) \le \mathbb{P}( X_n \in [\frac{t}{\alpha} - \epsilon,\frac{t}{\alpha} ]) \rightarrow\mathbb{P}( X \in [\frac{t}{\alpha} - \epsilon,\frac{t}{\alpha} ])$ por separado.
