Determine si$\frac{\sqrt{-23}+\sqrt[23]{-2}}{2}$ es un número entero algebraico.

Question

Una expresión algebraica entero es un número algebraico que es una raíz de algunos monic polinomio $f \in \mathbb{Z}[x]$.

Cuando compruebo que $\frac{\sqrt{-23}+\sqrt[23]{-2}}{2}$ es un entero algebraico o no por WolframAlpha, el resultado es false. Pero no puedo demostrarlo. Trato de encontrar el polinomio mínimo de ese elemento. Pero no parece funcionar. Me refiero a $23$ es grande y difícil de hacer a mano. ¿Hay alguna forma más rápida para comprobarlo?

Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Vamos a llamar a su número de $\alpha$. Debido a $-23\equiv1\pmod4$ es bien sabido que $\beta=(1+\sqrt{-23})/2$ es un entero algebraico. Porque algebraica de los números enteros forman un anillo, $\alpha$ es uno si y sólo si $$ \gamma=\alpha\beta=\frac{-1+\raíz{23}\de{-2}}2 $$ es un entero algebraico.

Eisenstein criterio del da que el polinomio $x^{23}+2$ es irreductible, por lo que $$[\Bbb{Q}(\gamma):\Bbb{Q}]=[\Bbb{Q}(\root{23}\of{-2}):\Bbb{Q}]=23.$$ Therefore the minimal polynomial $m(x)$ of $\gamma$ has degree $23$. Claramente, $(2\gamma+1)^{23}+2=0$, por lo que (de escala para hacer el polinomio monic) $$ m(x)=\frac1{2^{23}}\left((2x+1)^{23}+2\a la derecha). $$ El término constante $m(0)=3/2^{23}$ es manifiestamente no racional entero, por lo $\gamma$ no es un algberaic entero. Por lo tanto, no es $\alpha$.

Answer 2

$\sqrt{-23}$ es una raíz del polinomio $x^2 + 23$, lo $\sqrt{-23}/2$ es una raíz de $(2x)^2 + 23 = 4 x^2 + 23$ y por lo tanto de $x^2 + 23/4$. Por tanto es un autovalor de la compañía matriz $$ A = \pmatrix{0 & -23/4\cr 1 & 0\cr}$$ de $x^2 + 23/4$. $\sqrt[23]{-2}$ es una raíz de $x^{23}+2$, e $\sqrt[23]{-2}/2$ es una raíz de $x^{23} + 2/2^{23} = x^{23} + 2^{-22}$ y un autovalor de el $23 \times 23$ compañero de la matriz con $1$ en el primer subdiagonal, $2^{-22}$ en la posición $(1,23)$, e $0$ en otros lugares. Así su suma es un autovalor de $A \otimes I + I \otimes B$, un $46 \times 46$ matriz. El polinomio característico de esto es un irreductible (según Arce) monic polinomio de grado $46$ que no cuenta con coeficientes enteros. Por lo tanto su número no es un entero algebraico.