Es $\pi$ igual a $180^\circ$ ?

Question

$$ \begin{array}{ccc} \sin{(\theta+180^{\circ})}=-\sin{\theta} & \cos{(\theta+180^{\circ})}=-\cos{\theta} & \tan{(\theta+180^{\circ})}=\tan{\theta} \\ \sin{(\theta+\pi)}=-\sin{\theta} & \cos{(\theta+\pi)}=-\cos{\theta} & \tan{(\theta+\pi)}=\tan{\theta} \end{array} $$

Si los comparo, obtendré $\pi=180^{\circ}$ . ¿Por qué? ¿No es $\pi=3.142\ldots $ ? ¿Puede alguien demostrarlo?

Answer 1

No $\pi$ pero $\pi$ radianes iguales $180°$

Answer 2

Sería razonable definirlo: $$x^\circ = \frac{2\pi}{360}\cdot x$$ en cuyo caso sí, $180^\circ$ equivale literalmente a $\pi$ . Sin embargo, la respuesta de Leox es probablemente un poco más correcta.

Adenda. Después de pensarlo un poco, he cambiado ligeramente de opinión; ya no creo que la respuesta de Leox sea correcta. Para resumir mis creencias actuales sobre la cuestión: $\pi$ equivale literalmente a $180^\circ$ En particular, creo que los "radianes" y los "grados" son básicamente sistemas de convenciones, no unidades como los metros o los segundos.

---

Vamos a discutir esto un poco. En mi opinión, lo que realmente sucede es que hay una función

$$\mathrm{AngleInRadians} : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,\pi]$$

dado por

$$\mathrm{AngleInRadians}(v,w) = \mathrm{arccos}\left(\frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}\right)$$

y otra función,

$$\mathrm{AngleInDegrees} : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,180]$$

dado por

$$\mathrm{AngleInDegrees}(v,w) = \frac{180}{\pi}\mathrm{arccos}\left(\frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}\right)$$

Obsérvese que ambas funciones devuelven números sin unidades. En realidad, los grados y los radianes no son unidades en absoluto; no son como los metros o los segundos. Son más bien sistemas coherentes de convenciones que otra cosa.

Si queremos formalizar la relación entre estas convenciones, entonces $x^\circ$ debería definirse como se indica en mi respuesta original, como el resultado de evaluar una función $(-)^\circ : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ a un número (sin unidades) $x.$ Explícitamente:

$$(-)^\circ : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$

$$x^\circ = \frac{\pi}{180} \cdot x.$$

De ello se desprende que:

$$\mathrm{AngleInRadians}(v,w) = (\mathrm{AngleInDegrees}(v,w))^\circ.$$

Según esta convención, afirmaciones como $\pi = 180^\circ$ y $\cos(\theta+180^\circ) = -\cos \theta$ son literalmente verdaderos, donde $\cos$ se ve como una función matemática $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Así que las entradas a $\cos$ son meros números; no tienen unidades, y tampoco sus resultados.

Answer 3

En sentido estricto, hay dos funciones que se suelen denotar por $\sin(\cdot)$ . El matemáticas función senoidal, $\sin: \mathbb R \to \mathbb R,$ tiene como dominio los números reales. Es decir, la función no toma ángulos a los números; toma números a los números.

El dominio de la otra función seno es la medición de ángulos; una medida de ángulo consiste en un número y las unidades de medida del ángulo. Al igual que un mismo intervalo de tiempos o una misma distancia lineal pueden escribirse de múltiples formas diferentes usando varios números con varias unidades, un mismo ángulo puede escribirse de múltiples formas diferentes con distintas unidades. Por lo tanto, es correcto escribir

$$ 180^\circ = \pi\mbox{ rad},$$

donde el símbolo $^\circ$ indica unidades de grados y rad es el símbolo de los radianes, o (si está en un contexto en el que es apropiado utilizar la "otra" función denominada $\sin(\cdot)$ ) para escribir

$$ \sin(30^\circ) = \sin\left(\frac\pi6 \mbox{ rad}\right).$$

Por otro lado, en un contexto matemático más "puro" utilizando la función $\sin: \mathbb R \to \mathbb R,$ estrictamente hablando deberíamos escribir

$$\sin\left(\frac\pi6\right) = \frac 12 \neq \sin(30) \approx -0.988.$$

En la práctica, la tendencia a interpretar la notación $\sin(30)$ como $\sin(30^\circ)$ es tan fuerte que si se escribe sin(30) como entrada a Wolfram Alpha (por ejemplo) devolverá $0.5$ como respuesta. Por otro lado, si se pone =sin(30) en una celda en algunos programas de programas de hojas de cálculo, te puedes llevar una sorpresa. Sólo hay que ser consciente de esta posible fuente de confusión (nombres idénticos para dos funciones diferentes) y asegurarse de utilizar la función función correcta en el contexto dado.

Answer 4

Esta imagen muestra cómo interpretar los grados y los radianes. Un círculo completo= $360^\circ$ .

Citando directamente de la wikipedia:

El radián describe el ángulo plano subtendido por un arco circular como la longitud del arco dividida por el radio del mismo. Un radián es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco de longitud igual al radio del círculo. Más generalmente, la magnitud en radianes de dicho ángulo subtendido es igual a la relación entre la longitud del arco y el radio del círculo; es decir, = s /r, donde es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco y r es el radio. A la inversa, la longitud del arco cerrado es igual al radio multiplicado por la magnitud del ángulo en radianes; es decir, s = r.

Como cociente de dos longitudes, el radián es un "número puro" que no necesita símbolo de unidad, y en la escritura matemática casi siempre se omite el símbolo "rad". Cuando se cuantifica un ángulo en ausencia de cualquier símbolo, se asumen los radianes, y cuando se trata de grados se utiliza el símbolo °.

Ahora bien, si se equiparan los radianes y los grados, entonces:

$$2\pi \text { radians}=360^\circ$$ $$ 1\text { radian}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx 57.3^\circ$$

Fuente : Lucas V. Barbosa en Wikimedia Commons y Tumblr

Answer 5

SÍ. Son lo mismo.

Son iguales en el sentido de que $12 = 1\ \textrm{dozen}$ .

---

Recuerda que un ángulo es un relación . Es la relación entre la longitud del arco y el radio. Para un círculo, esa relación es $2\pi$ . Para un medio círculo, esa proporción es $\pi$ .

Si dijera que el ángulo (la proporción) es $0.75$ o $3/4$ o $\textrm{three quarters}$ , esos son exactamente lo mismo .

"Radianes" no significa nada, aparte de que el número se está aplicando a un ángulo, en lugar de alguna otra proporción o número. Siempre se puede omitir y ser perfectamente válido.

"Grados" es una cantidad de unidades, similar a $\textrm{quarter}$ o $\textrm{dozen}$ . La única diferencia es que un grado no es un número racional de unidades.

Igual que se puede decir 5 docenas de mph, se puede decir 3437,7... grados mph.

Por supuesto, nadie mide en docenas de mph, al igual que nadie mide en grados mph.

Pero podrían hacerlo.