¿Por qué la diferencia absoluta de max de funciones es menor que la máxima de la diferencia absoluta de funciones?

Question

El título es prolijo, pero la pregunta (creo) es simple. ¿Por qué se mantiene la siguiente desigualdad? Se utiliza como un paso en la clave de solución para una tarea mía, pero no explica por qué. ¿Hay un nombre para esta propiedad ?:

$|max \ f(x) - max \ g(x)| \le max|f(x) - g(x)|$

¡Gracias!

Answer 1

Tenemos que

$$f(x)\le |f(x)-g(x)|+g(x).$ $ Así

$$\max f(x)\le \max (|f(x)-g(x)|+g(x))\le \max |f(x)-g(x)| +\max g(x).$ $ Así que

$$\max f(x)-\max g(x)\le \max |f(x)-g(x)|.$$ Changing the roles of $ f$ and $ g $ tenemos eso

$$\max g(x)-\max f(x)\le \max |f(x)-g(x)|.$ $ Así hemos terminado.

Answer 2

Como alternativa (a la otra), para recordar de qué manera esta desigualdad va, compare $\sin(x)$ e $-\sin(x)$ (en, digamos , $(-\infty, \infty)$, a pesar de que muchos no complicado opciones son equivalentes). El máximo de ambas funciones es $1$, por lo que la diferencia de la maxima es $0$. La maxima de uno coincide con los mínimos de la otra y viceversa, por lo $|\sin(\pi/2) - (-\sin(\pi/2))| = 2$ es el máximo de las diferencias absolutas.

El inobviousness de este tipo de resultado parece ser el pensamiento de que los máximos de ambas funciones se realizan en los mismos lugares en el dominio.