Suma de dos conjuntos cerrados en$[0,\infty)$

Question

Deje que$A$ y$B$ sean subconjuntos cerrados de$X=[0,\infty)$. ¿$A+B$ Está cerrado en$X$?

Sé que$A+B$ no necesita estar cerrado en$X=\Bbb{R}$ como$A=\Bbb{Z}$ y$B=\pi \Bbb{Z}$ sirve un ejemplo

¿Qué hay de este? ¿Algunas ideas?

Answer 1

Deje$a_n\in A$ y$b_n\in B$. Supongamos que$a_n+b_n$ converge a$c$. Aquí observe que$\langle a_n\rangle$ está delimitado. ¿Puedes encontrar la razón por la cual?

Esto se debe a que$0\le a_n\le a_n+b_n$ y$\langle a_n+b_n\rangle$ están delimitados.

Ahora tome una subsecuencia$\langle a_{n_k}\rangle$ de$\langle a_n\rangle$ que tiene un límite$a\in A$. Luego,$\langle b_{n_k}\rangle$ también converge a algunos$b\in B$. Por lo tanto asi $c=a+b$.