$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+3}}{(n+3)!}$

Question

Estoy atascado sumando una simple serie infinita.

PS

Yo sé eso

PS

Y supongo que debería dividir mi expresión en algún tipo de fracciones parciales, ¿no? Algo como

PS

Pero no puedo encontrar un wat de cómo resolverlo para$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+3}}{(n+3)!}$. Posiblemente, otra - forma más sencilla existe. ¿Alguna pista? ¡Gracias!

Answer 1

Tienes $$ \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+3}}{(n+3)!} &= \sum_{n = 3}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\\ &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} -\frac{x^0}{0!} - \frac{x^1}{1!} - \frac{x^2}{2!}. \end {align} $$

Answer 2

PS

Answer 3

Pista: Shift$n+3\to k$. Entonces$\sum_0^{\infty}f(n)=\sum_3^{\infty}f(k)$ y la suma es$$\left(\sum_0^{\infty}f(k)+x^2/2!+x/1!+1\right)=\text{e}^x-(x^2/2!+x/1!+1)$ $