Álgebra abstracta 1 sobre la permutación

Question

Tengo una pregunta de examen y realmente no sé cómo resolverla, y lo he intentado mucho.

Digamos que tengo una permutación $a=(1 6)(2 5 7)(3 8 4 9)$ para que $a \in S_9$ y quiero encontrar cuántas permutaciones $b\in S_9$ existen que conmutan con $a$ con respecto a la operación de composición: $a\star b=b \star a$

¡Gracias en adavance!

Answer 1

Considera, sólo para probar, $b=(124)(35)(6789)$ y calcular \begin {align} b \star a \star b^{-1} &= (124)(35)(6789)(16)(257)(3849)(142)(35)(6987) \\ &=(1659)(27)(384) \\ &= \bigl (b(1)\N-\N-, b(6) \bigr )\, \bigl (b(2)\N-, b(5)\N-, b(7) \bigr )\, \bigl (b(3)\,b(8)\,b(4)\,b(9) \bigr ) \end {align}

Esto es válido en general (y deberías poder demostrarlo): si $b$ es cualquier permutación en $S_9$ entonces $b\star a\star b^{-1}$ es la permutación obtenida al aplicar $b$ a cada elemento de la descomposición de ciclos disjuntos de $a$ .

Ahora, $a\star b=b\star a$ es lo mismo que $b\star a\star b^{-1}=a$ .

Answer 2

Nótese que en lugar de calcular el tamaño del centralizador $C_{S_9}(a)$ de $a$ directamente se puede calcular el tamaño de la clase de conjugación $C_a$ de $a$ porque $|C_a| |C_{S_9}(a)| = |S_9| = 9!$ . Pero la clase de conjugación de $a$ consiste simplemente en todas las permutaciones de la forma $(s_1,s_2)(s_3,s_4,s_5)(s_6,s_7,s_8,s_9)$ con $\{s_1,\dots,s_9\} = \{1,\dots, 9\}$ Por lo tanto, esto reduce su problema a una cuestión de combinatoria, es decir, a contar el número de permutaciones de esta forma.