Número de prime ideales de un anillo

Question

Podría alguien decirme cómo encontrar el número de los distintos primer ideales del anillo $$\mathbb{Q}[x]/\langle x^m-1\rangle,$$ where $m$ is a positive integer say $4$, or $5$?

¿Qué resultado/resultados deben aplicar para resolver este problema? Gracias por su ayuda.

Answer 1

El primer ideales de $\mathbb Q[x]/(x^m-1)$ corresponden al primer ideales en $\mathbb Q[x]$ contiene $x^m-1$, tomando la preimagen bajo el surjection $\mathbb Q[x] \to \mathbb Q[x]/(x^m-1)$. Desde $\mathbb Q[x]$ es un PID, esos ideales se $(f)$ $f$ un factor irreducible de $x^m-1$. Tenemos la factorización $$x^m-1 = \prod_{d|m} \Phi_d$$ donde $\Phi_d$ $d$th cyclotomic polinomio, que es irreducible. Por lo que el número de factores irreducibles de $x^m-1$$\tau(m)$, el número de divisores positivos de $m$.

Answer 2

Una pequeña adición a marlu la respuesta: El Teorema del Resto Chino implica $$\mathbb{Q}[x]/(x^m-1) \cong \prod_{d|m} \mathbb{Q}(\zeta_d),$$, que es finito, producto directo de campos. Por lo que el (primer) estructura ideal es bastante fácil.

Answer 3

Este se obtiene al juntar varios hechos fundamentales.

1) Vamos a $P(x) = x^n-1$. A continuación, $P(x) = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x)$ es un producto de cyclotomic polinomios. El producto se extiende sobre todos los enteros positivos $d$ dividiendo $n$. Se sabe que cada una de las $\Phi_i$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$: véase, por ejemplo, $\S$ 10.1.2 de estas notas. Desde $\operatorname{gcd}(P(x),P'(x)) = 1$, $P(x)$ es un squarefree polinomio: no tiene repetido irreductible factores. (O busque directamente en las raíces de $\Phi_d$ - son los primitivos $d$th raíz de la unidad, a ver que $\Phi_d$'s son distintos monic polinomios.)

2) Si $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ es un producto de los distintos polinomios irreducibles $P_1(x) \cdots P_r(x)$, luego por el Teorema del Resto Chino, $\mathbb{Q}[x]/(P(x)) \cong \prod_{i=1}^r \mathbb{Q}[x]/(P_i(x))$. Desde cada una de las $P_i$ es irreductible, este es un producto de $r$ campos.

3) El primer ideales en un número finito de producto $\prod_{i=1}^r R_i$ de anillos conmutativos son precisamente las de la forma$R_1 \times \ldots \times R_{i-1} \times \mathfrak{p}_i \times R_{i+1} \times \ldots \times R_r$, $\mathfrak{p}_i$ un primer ideal de $R_i$. En particular, un producto de $r$ campos tiene, precisamente, $r$ ideales: debemos tomar cada una de las $\mathfrak{p}_i = 0$.

Poniendo a estos en conjunto, observamos que el número de primer ideales en $\mathbb{Q}[x]/(x^n-1)$$d(n)$, el número de (positivo) divisores de $n$.