Pregunta del espacio robusto

Question

Deje que$T$ sea el círculo unitario. Deje que$\phi\in C(T)$ y que$\psi$ sea una función en$L^2(T)$, tal que$\phi+i\psi\in H^2$. Supongamos que tanto$\psi$ como$\phi$ son valores reales. Mostrar $e^{\phi+i\psi}\in H^\infty$.

Lo vi en un artículo de Sarason, pero no está probado allí. Intenté probarlo escribiendo$e^{\phi+i\psi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\phi+i\psi)^n }{n!}$, pero no creo que esto ayude, ya que$H^2$ no es un álgebra. ¿Puede alguien darme una pista sobre cómo probar esto? Principalmente necesito ayuda para mostrar$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \left(e^{\phi(e^{i\theta})+i\psi(e^{i\theta})}\right)\chi_n(e^{i\theta})d\theta=0$ para$n>0$.

Answer 1

Tenga en cuenta que$|e^z| = e^{\operatorname{Re} z}$, así que$|e^{\phi+i\psi}| = e^\phi$ está delimitado (ya que$\phi$ y$\psi$ son valores reales y$\phi \in C(T)$). Por lo tanto,$e^{\phi+i\psi} \in H^\infty$.