En una cáscara de nuez
"los tensores en un colector $M$ son objetos globales que son invariantes por definición; sus componentes transformar en virtud de coordinar cambiar siguientes leyes se denomina covarianza & contravarianza "
*"la $m$-pliegue de los sistemas (pag. 65 y pag.71 en loc.cit.) no son invariantes bajo cambios de coordenadas: se transforman covariantly o contravariantly porque son los coeficientes de los tensores en el colector $M$, no tensores de sí mismos".*
Vamos a aclarar este punto.
- Declaraciones generales tensores en los colectores
Los tensores en los colectores, cuando se administra localmente, tienen coeficientes con precisas reglas de transformación bajo transformaciones de coordenadas: el tensor de la misma es invariante, como lo es "todo el mundo" a una sección de un determinado haz de fibras sobre el colector $M$ bajo análisis: su local espression depende de las coordenadas, aunque.
Por ejemplo, el multi-vector de campo (o tensor contravariante de campo) $X\in\Gamma(\wedge^m TM)$ a nivel local es dada por
$$X=X_{i_1,\dots,i_m}(x_1,\dots,x_n)\frac{\partial }{\partial x_{i_1}}\wedge\dots\wedge\frac{\partial }{\partial x_{i_m}}\in \wedge^m T_pM$$
en punto de $p\in M$ en coordenadas locales,$(x_1,\dots,x_n)$; la transforma en virtud del cambio de coordenadas $x_{\bullet}\mapsto y_{\bullet}=y_{\bullet}(x_{\bullet})$
recordando que
$$\frac{\partial}{\partial x_r}=\frac{\partial y_s}{\partial x_r}\frac{\partial}{\partial y_s}. $$
En resumen, en las coordenadas $(x_1,\dots,x_n)$ hemos
$X=X_{i_1,\dots,i_m}(x_1,\dots,x_n)\frac{\partial }{\partial x_{i_1}}\wedge\dots\wedge\frac{\partial }{\partial x_{i_m}}$; en las coordenadas
$(y_1,\dots,y_n)$ el tensor de la $X$ (es globalmente invariantes!) está dada por
$X=\tilde{X}_{j_1,\dots,j_m}(y_1,\dots,y_n)\frac{\partial }{\partial y_{j_1}}\wedge\dots\wedge\frac{\partial }{\partial y_{j_m}}$, con
$$\tilde{X}_{j_1,\dots,j_m}(y_1,\dots,y_n)=X_{i_1,\dots,i_m}(x_1,\dots,x_n)
\frac{\partial y_{j_1}}{\partial x_{i_1}}\cdots\frac{\partial y_{j_m}}{\partial x_{i_m}}.$$
Dualizing se considera el diferencial de las formas y transformaciones de coordenadas inducción
$$dy_s=\frac{d y_s }{d x_r}d x_r $$
en el nivel de los diferenciales.
