Demostrar que el anillo de división es conmutativo si para cada $x$ , $x^7=x$

Question

Intento resolver un problema y estoy atascado.

Este es el problema original:

Sea $A$ sea un álgebra de dimensión finita sobre un campo $K$ , para cada $a\in A$ , $a^7=a$ . Demuestre que $A$ es un producto directo (¿suma?) de campos. ¿Qué campos pueden surgir?

Vemos que $A$ es Artiniano y por lo tanto su radical de Jacobson es nilpotente. Sin embargo, por el hecho de que $a^7=a$ vemos que no hay nilpotentes, por lo que el radical de Jacobson es cero. Por lo tanto $A$ es semisimple y es un producto directo de anillos matriciales sobre álgebras de división. Como no hay nilpotentes todos los anillos matriciales son unidimensionales, por lo que $A$ es un producto directo de anillos de división.

Ahora tenemos que demostrar que todos estos anillos de división son campos. Y ahí es donde estoy atascado. ¿Puedes darme una pista de qué hacer a continuación? Si puedo demostrar que estos anillos de división son finitos he terminado, pero no sé cómo.

Answer 1

Cualquier campo $K$ donde $x^7=x$ para todos $x\in K$ es isomorfo a $\Bbb F_2$ , $\Bbb F_3$ , $\Bbb F_4$ o $\Bbb F_7$ mediante la teoría básica de campos ( $|K|\leq7$ ya que un polinomio de grado 7 tiene como máximo 7 raíces). Así que tu campo base debe ser uno de esos 4. Así que sus anillos de división son de dimensión finita sobre un campo finito, por lo tanto son finitos. Ahora basta con aplicar el pequeño teorema de Wedderburn (una prueba de esto se describe en algunos ejercicios en Dummit y Foote).

Answer 2

Creo que el camino que has elegido, complementado con la respuesta de PVAL es un camino sencillo:

1) Demostrar que el anillo es semisimple

2) Señala que los anillos matriciales deben tener dimensión $1$

3) Obsérvese que los anillos de división de centros implicados deben ser finitos, por lo tanto $K$ es finito y los anillos de división son de dimensión finita $K$ álgebras.

4) Aplicar Pequeño teorema de Wedderburn para concluir que los anillos de división son conmutativos.

---

Hay otra forma que agrupa los pasos 2 y 4 en uno (aunque no es mucho más simple: sólo estamos intercambiando pasos extra por el uso de un teorema más potente)

1) Demostrar que el anillo es semisimple

2') Aplicar Generalización de Jacobson de WLT para concluir que el anillo es conmutativo, y obsérvese que un anillo semimple conmutativo es un producto finito de campos.

3') Deducir que un campo que satisface $x^7=x$ es finito, y determinar cuáles son las posibilidades de $K$ y, a continuación, qué extensiones finitas de $K$ pueden aparecer en la factorización del anillo.

Answer 3

Debería empezar preguntándose por las características de este anillo. Rápidamente verá que la característica es $p$ tal que $p-1|7-1$ .

Supongamos ahora que usted vive en una división álgebra $R$ tal que $a^7-a=0$ para cada $a$ en $R$ . ¿Qué puede decir sobre $R$ ? ¿Puede concluir que $R=k$ donde $k$ ¿está el campo de tierra en la lista reducida que ha establecido?

Espero que esto ayude.