¿Demostrando forma de divisor?

Question

Deje $ n,x,y \in \Bbb N$.Mostrar que cada divisor de $(n^2+1)$ tiene la forma $x^2+y^2$.

Mi primer pensamiento: $x^2+y^2|n^2+1$

$\Leftrightarrow n^2\equiv-1\pmod {x^2+y^2}$

aquí podemos utilizar los residuos cuadráticos.

Pero pensé que nosotros deberíamos mejor decir:

Deje $d \in \Bbb Z$ ser un divisor de $(n^2+1)$ sabemos que si $d=p_1\cdots p_n$ donde $p_i$ es primo, que cada una de las $p_i$ es un divisor de $n^2+1$. Que teníamos que mostrar que cada producto de números primos puede ser representado como la suma de dos cuadráticas, ¿verdad ?

¿Puedo utilizar los residuos cuadráticos o necesito otro hecho importante ?

Yo SÓLO quiero una sugerencia ! Gracias !

Answer 1

• Debido a la identidad de Lagrange $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ es suficiente para demostrar que cualquier primer divisor de $n^2+1$ es de la forma $x^2+y^2$;

• $2=1^2+1^2$ y si por alguna extraña prime $p$ tenemos $n^2+1\equiv 0\pmod{p}$,, a continuación, $-1$ es un residuo cuadrático $\pmod{p}$ e $p\equiv 1\pmod{4}$;

• $\mathbb{Z}[i]$ es un UFD / hay un único binario reducción de una forma cuadrática de discriminante $-4$. De ello se sigue que cualquier prime $p\equiv 1\pmod{4}$ puede ser representada en una esencia única manera como $x^2+y^2$. Para una prueba (Fermat) descenso, eche un vistazo a esta pregunta similar.