Dados enteros positivos a y b tales que $a\mid b^2, \:b^2\mid a^3, \:a^3\mid b^4,\: b^4\mid a^5$ ..., probar $a=b.$

Question

Dados enteros positivos a y b tales que $a\mid b^2, \:b^2\mid a^3, \:a^3\mid b^4,\: b^4\mid a^5$ ..., probar $a=b.$

Pude demostrar que a y b tienen los mismos primos en sus factorizaciones, pero no estoy seguro de cómo demostrar que los exponentes de estos primos son equivalentes para todos los primos en su factorización. Intenté la contradicción pero me quedé atascado.

Answer 1

• Dejemos que $v_{p}(a)$ denotan la mayor potencia de $p$ en $a$ . Por ejemplo, si $v_{p}(a) =k$ entonces $p^{k}\mid a$ y $p^{k+1} \nmid a$ .

• $a^{4n+1} \mid b^{4n+2} \implies v_{p}(a) \leq \frac{4n+2}{4n+1}v_{p}(b)$ y $n \to \infty$ da $v_{p}(a) \leq v_{p}(b)$ . Ahora intenta mostrar la desigualdad inversa.

Answer 2

Una pista:

Dejemos que $p$ sea cualquier primo que divida a $a$ y que $m$ respectivamente $n$ sean las potencias de $p$ en $a$ respectivamente $b$ .

Debe demostrar que $m \leq n$ y $n \leq m$ .

Ahora, para cada $k$ tenemos $$p^{(2k-1)m} \mid a^{2k-1} \mid b^{2k}$$ Como el poder de $p$ en $b^{2k}$ es $n(2k)$ conseguimos que $$(2k-1)m \leq 2k n \Rightarrow \frac{m}{n} \leq \frac{2k}{2k-1}$$

utilizar el hecho de que esto es cierto para todos $k$ para concluir que $\frac{m}{n} \leq 1$ .

Ahora repite con $m,n$ intercambiados y con el par $k's$ .

P.D. No es necesario mirar la factorización de los primos:

Supongamos por contradicción $a >b$ . Entonces $$\lim_k \left( \frac{a}{b} \right)^k =\infty$$ lo que implica que existe un $k$ para que $$\left( \frac{a}{b} \right)^{2k} >a \Rightarrow a^{2k-1} > b^{2k}$$ que contradice $a^{2k-1} \mid b^{2k}$ .

Ahora supongamos por contradicción $a < b$ y repetir el argumento con $a,b$ interruptores (y $2k+1$ en lugar de $2k$ ).

Answer 3

$\color{#c00}a(a/b)^{2k}\in \Bbb Z\,\Rightarrow\, \color{#c00}a\,$ es un denominador común para sin límites poderes de $\ a/b,\ $ así que $\ a/b\in \Bbb Z,\,$ por lo que $\ b\mid a.\ $ Asimismo, $\ b(b/a)^{2k+1}\in\Bbb Z\,\Rightarrow\, a\mid b.\ $ Así, $\ a = b.$