¿Cómo probar que$x^4+x^3+x^2+3x+3 $ es irreducible sobre el anillo$\mathbb{Z}$ de enteros?

Question

Que criterio (prueba) se pueden utilizar con el fin de demostrar que el $x^4+x^3+x^2+3x+3 $ es irreducible sobre el anillo de $\mathbb{Z}$ de los enteros ?

Ninguno de Eisenstein criterio y Cohn criterio no puede ser aplicado en este polinomio. Yo sé que uno puede usar el factor de comando en Wolfram Alpha y demostrar que polinomial es irreductible, pero ese no es el punto de esta pregunta.

Answer 1

Deja que tu polinomio sea$f$. Claramente no tiene un factor lineal, ya que no tiene una raíz en$\mathbb{Z}$. Por lo tanto, si es un factor, es el producto de dos cuadráticas irreductibles$f_1, f_2$.

Ahora buscando mod$2$ obtenemos una factorización$f=x^4+x^3+x^2+x+1=f_1f_2$ en$\mathbb{F}_2[x]$. Ahora, como$f$ no tiene mod de raíz$2$,$f_1$ y$f_2$ también son cuadráticas irreductibles en$\mathbb{F}_2[x]$. Pero la única cuadrática irreductible en$\mathbb{F}_2[x]$ es$x^2+x+1$. Esto implicaría que$x^4+x^3+x^2+x+1 = (x^2+x+1)^2$ en$\mathbb{F}_2[x]$, lo cual es falso.

Answer 2

Sugerencia: si un quartic es reducible, tiene un factor lineal o un factor cuadrático. Es fácil comprobar que su polinomio anterior no tiene soluciones lineales, y puede resolver una contradicción si asume que puede ser factorizado en el producto de dos (métricas) cuadráticas.