Para$p$ prime,$p = a^2 + b^2$, ¿por qué debe$a$ o$b$ ser un cuadrado?

Question

Si p primo y si$p = 1 \pmod{4}$, entonces$p = a^2 + b^2$; ¿Por qué$a$ o$b$ debe ser un mod cuadrado$p$?

Answer 1

Esta respuesta se agrega una pequeña cantidad de detalle para el uno por @Thomas Andrews, pero utiliza exactamente la misma idea. Supongamos que $p=a^2+b^2$. Deje $a$ tiene el primer poder de la factorización de $$a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}.$$ Supongamos primero que $a$ es impar. A continuación,$p\equiv b^2 \pmod{p_i}$, lo $p$ es un residuo cuadrático módulo $p_i$ por cada $i$. De ello se desprende que los símbolos de Legendre $(p/p_i)$ son todos iguales a $1$, y, por tanto, por la Reciprocidad de modo que son los símbolos de Legendre $(p_i/p)$. Por lo tanto $a$, y de hecho cada factor de $a$, es un residuo cuadrático de $p$.

Supongamos siguiente que $a$ es incluso. Por el mismo argumento como el de arriba, cada impar factor de $a$ es un residuo cuadrático de $p$. Si $p$ es de la forma $8t+1$,, a continuación,$(2/p)=1$, y por lo tanto $a$, y cada factor de $a$, es un residuo cuadrático de $p$. Por último, supongamos que el $p$ es de la forma $8t+5$. A continuación,$a \equiv 2\pmod{4}$. Desde $2$ no es un residuo cuadrático de $p$, se deduce que el $a$ no es un residuo cuadrático de $p$.

Answer 2

Uno de$a$ o$b$ es impar. Supongamos que es$a$.

Entonces$$\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{a-1}2}\left(\frac{p}{a}\right) =\left(\frac{p}{a}\right) = \left(\frac{b^2}a\right) = 1$ $

Donde estamos utilizando símbolos generales de Jacobi, en lugar de símbolos de Legendre.