Deje $\mu $ ser positivo medida de Borel en $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}$ such that $\mu \left( B\a la izquierda( a,r\right) \right) \leq Cr^{n}$ para algunos $n\in (0,d]$ y para cualquier balón $B\left( a,r\right) $ en $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}$. Riesz potential $I_\alpha$ defined by $I_\alpha f(x)=\int_{\mathbb{R}^d} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}} d\mu(y)$. Could you help me to prove (disprove) that $\left\Vert I_{\alpha }f\right\Vert _{L^{n/(n-\alpha )}\left( \mu \right) }\leq C\left\Vert f\right\Vert _{L^{1}\left( \mu \right) }$ (Hardy-Littlewood-Sobolev inequality for $p=1$)?
En Stein del libro, para la medida de lebesgue ($n=d$) por encima de la desigualdad no es verdadero. Por assumming que la desigualdad es verdadera, se puede construir una secuencia de la función $\{f_{m}\}$ que implica $\int_{% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}}\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{d}}dx<\infty ,$ contradiciendo el hecho de $\int_{% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}}\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{d}}dx=\infty $.
Para (general), la medida anterior, trataré de hacer la misma técnica y obtener $ \int_{% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}}\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{n}}d\mu \left( x\right) <\infty ~$ (que no siempre es una contradicción, ya que no es una medida $\mu _{1}$ tal que $\int_{% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}}\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{n}}d\mu _{1}\left( x\right) <\infty $ ). Podría usted dar una sugerencia o referencia?
Muchas gracias.
