El algoritmo de división larga de la escuela primaria y el algoritmo de división larga polinomial son idénticos, si no me equivoco. ¿Por qué es este el caso? ¿Son las dos estructuras algebraicas idénticas en algún sentido? ¿Qué otros campos comparten este mismo algoritmo de división?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Watson
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Creo que las estructuras algebraicas que usted está buscando se llama Euclidiana dominios.
Un dominio Euclídeo $R$ no necesita ser un campo, pero sólo un anillo con un "euclidiana función" $v : R \setminus \{0\} \longrightarrow \Bbb N$. En el caso de $\Bbb Z$, $v$ es el valor absoluto. En el caso de $\Bbb R[X]$, $v(\cdot)$ es el grado (de polinomios). Como se puede ver, $\Bbb R[X]$ no es un campo, pero es un dominio Euclídeo, lo que significa que la función de $v$ satisface :
$$\forall a,b \in \Bbb R[X] \quad \exists q,r \in \Bbb R[X] \quad a=qb+r \;\text{ such that } \; v(r) = 0 \text{ or } v(r)<v(q)$$ En la fórmula anterior, se puede reemplazar $\Bbb R[X]$ por cualquier dominio Euclídeo $R$, debido a que esta es básicamente la definición. Usted puede pensar de $r$ como el resto y $q$ como el cociente.
Cualquier campo es un dominio Euclídeo, definiendo $v(r) = 1$ para todos los $r≠0$.
