Funtor aditivo sobre una secuencia exacta dividida corta.

Question

$0\to A'\stackrel{f}{\longrightarrow} A \stackrel{g}{\longrightarrow} A''\to 0$ es una secuencia exacta dividida corta, donde $A'$ , $A$ , $A''$ son $R$ -módulos, y $T$ es un functor aditivo de $R$ - $\mathsf{mod}$ a $\mathsf{Ab}$ .
Entonces tenemos la secuencia $0\to TA'\stackrel{T(f)}{\longrightarrow} TA \stackrel{T(g)}{\longrightarrow} TA''\to 0$ es una secuencia exacta dividida de nuevo.
Sé que la segunda secuencia está dividida. Que $T(f)$ es inyectiva y $T(g)$ es sobreyectiva también está claro para mí.
Mi pregunta es por qué $\ker T(g)=\mathrm{im}T(f)$ .

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1. Algunos comentarios que he encontrado en Internet dicen que un functor aditivo preserva la suma directa binaria. Yo sé muy poco de teoría de módulos.No sé si esta es la razón por la que me atasco aquí.
2.He comprobado desde este post de math.SE . Pero la respuesta allí parece no ser adecuada para mi pregunta.
Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que tenemos morfismos $f : A' \to A$ , $g : A \to A''$ , $r : A \to A'$ , $s : A'' \to A$ en una categoría abeliana. Tenemos una secuencia exacta dividida si y sólo si estas ecuaciones se mantienen: \begin{align} r \circ f & = \textrm{id}_{A'} & g \circ f & = 0 \\ r \circ s & = 0 & g \circ s & = \textrm{id}_{A''} \\ \end{align} $$f \circ r + s \circ g = \textrm{id}_A$$ Estas son precisamente las mismas ecuaciones necesarias para hacer $A$ en la suma directa $A' \oplus A''$ y en particular $$0 \longrightarrow A' \longrightarrow A \longrightarrow A'' \longrightarrow 0$$ es una secuencia exacta. Está claro que $f$ es mónico y $g$ es épica, y $g \circ f = 0$ implica $\operatorname{im} f \subseteq \ker g$ sólo tenemos que comprobar que $\operatorname{im} f \supseteq \ker g$ ahora. Así que supongamos $g \circ x = 0$ para algunos $x : X \to A$ . Entonces, $s \circ g \circ x = 0$ también, así que $$x = (f \circ r + s \circ g) \circ x = f \circ r \circ x$$ y por lo tanto $\ker g \subseteq \operatorname{im} f$ de hecho.